高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算达标测试

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一、选择题
1．(多选)已知a、b是空间中的两个向量，下列说法正确的是( )
A．空间中两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉
B．空间中两个向量的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π]
C．a⊥b⇔〈a，b〉＝π2
D．cs 〈a，b〉＝－cs 〈－a，－b〉
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则AB1·BC1的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图所示，在四面体A-BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝1，CD＝12，∠ACD＝60°，AB⊥CD，则BD＝( )
A．32 B．72 C．52 D．32
4．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A．PC与AD B．DA与PB
C．PD与AB D．PA与CD
5．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为( )
A．－105 B．－15 C．15 D．105
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a·b＝a·c(a≠0)⇒b＝c；
②a·b＝0⇒a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b<0，则a，b的夹角为钝角．
7．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|＝________．
8．如图，边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC与BF所成的角为________．
三、解答题
9．如图，在空间四边形OABC中，2BD＝DC，点E为AD的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c．
(1)试用向量a，b，c表示向量OE；
(2)若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠AOB＝∠BOC＝60°，求|OE|的值．
10．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝203 m，则甲、乙两人相距( )
A．70 mB．703 m
C．90 mD．903 m
11．已知非零向量a，b，c，若p＝aa+bb+cc，那么|p|的取值范围为( )
A．[0，1]B．[1，2]
C．[0，3]D．[1，3]
12．如图所示，已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，则GF·AC＝__________，EF·BC＝________．
13．点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA·PC1的取值范围是________．
14．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为π3，求侧棱的长．
15．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，BC边上是否存在点Q，使PQ⊥QD ?