高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步训练题

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2．D 3．B 4．B 5．C 6．-952，126，-14 7．平行
8．解：(1)连接BD，交AC于点O，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，C(－3，0，0)，D1(0，－1，2)，设E(0，1，2＋h)，则D1E＝(0，2，h)，CA＝(23，0，0)，D1A＝(3，1，－2)．
因为D1E⊥平面D1AC，所以D1E⊥D1A，
所以D1E·D1A＝2－2h＝0，
所以h＝1，即E(0，1，3)，所以AE＝(－3，1，3)．
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·CA=0m·AE=0，得23x=0 -3x+y+3z=0，故x＝0，
令z＝－1，则y＝3，
所以平面EAC的一个法向量为m＝(0，3，－1)．(答案不唯一)
(2)证明：易知D1P＝35D1E＝0，65，35．
因为A1(3，0，2)，D1(0，－1，2)，
所以A1D1＝(－3，－1，0)，
所以A1P＝A1D1+D1P＝-3，15，35，
所以A1P·m＝－3×0＋3×15＋(－1)×35＝0，
又A1P不在平面EAC内，所以A1P∥平面EAC．
9．B 10．①③④
11．证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)，BC＝(0，2，0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，则n1⊥FE，n1⊥FG，
即n1·FE=0，n1·FG=0，得-y1=0， x1+y1-z1=0，
令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量．
由n2⊥PB，n2⊥BC，得
n2·PB=2x2-2z2=0，n2·BC=2y2=0， 得y2=0， x2-z2=0，
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)．
所以n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
12．解：存在．理由如下：
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF为正方形，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD.过点D作DG⊥BC于点G．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B12，32，0，C-52，32，0，D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，
∴AF＝(0，0，1)，CE＝52，-32，1，AB＝-12，32，0，BD＝-12，-32，0．
设BNBD＝λ，0