数学1.4 空间向量的应用复习练习题

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3．AC [对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，且b＝－a，所以l1∥l2，故A正确；
对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l⊂α，故B错误；
对于C，平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0.所以α⊥β，故C正确；
对于D，直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，且u＝－53a，所以l⊥α，故D错误．故选AC．]
4．D
5．AC [以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，M(0，0，1)，A(2，0，0)，
C(0，2，0)，O(1，1，0)，N(0，1，2)，∴OM＝(－1，－1，1)，MN＝(0，1，1)，AC＝(－2，2，0)，AA1＝DD1＝(0，0，2)，
∴OM·AC＝0，OM·MN＝0，OM·AA1＝2，
∴OM⊥AC，OM⊥MN，故选AC．]
6．0 7．5，－1
8．66，66，-63或-66，-66，63 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
9．证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1．
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
由已知得
A-12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，
∵M为BC的中点，∴M14，34，0．
∴MN＝-14，34，14，AB1＝(1，0，1)，
∴MN·AB1＝－14＋0＋14＝0．
∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN．
10．D
11．AB [对于A，由n1·n2＝0，得n1⊥n2，进而得α⊥β，反之亦成立，从而A正确；对于B，l·n＝3×2＋(－1)×2＋(－2)×2＝0，从而l⊥n，进而得α⊥β，从而B正确；对于C，因为l⊥α，直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行．则存在实数λ，使(4，2，m)＝λ(2，1，－1)，即4=2λ， 2=λ， m=-λ，∴m＝－2．从而C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．
C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，B1(2，2，2)，D(0，0，0)．
DB1＝(2，2，2)，EF＝(－1，1，0)，CF＝(0，－1，2)，
所以n·EF=0，n·CF=0，则-x+y=0，-y+2z=0，
令x＝2，得y＝2，z＝1，所以n＝(2，2，1)．
因为DB1＝(2，2，2)，所以DB1与n不平行，所以B1D不垂直于平面CEF，从而选项D错误．故选AB．]
12．(－1，2，1)(答案不唯一) 253
13．a或2a
14．解：(1)以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则
D(0，0，0)，
B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，a)，Fa2，a2，a2，
所以EF＝-a2，0，a2，DC＝(0，a，0)，
EF·DC＝-a2，0，a2·(0，a，0)＝0，所以EF⊥DC．
(2)因为G∈平面PAD，设G(x，0，z)，
所以FG＝x-a2，-a2，z-a2．
由(1)知，CB＝(a，0，0)，CP＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，只需FG·CB＝x-a2，-a2，z-a2·(a，0，0)＝ax-a2＝0，
FG·CP＝x-a2，-a2，z-a2·(0，－a，a)＝a22＋az-a2＝0，
所以x＝a2，z＝0．
所以点G的坐标为a2，0，0，即点G为AD的中点．
15．解：(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD．
∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC．
过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝3，CH＝3，
∴AC＝23，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AC⊥AB．
∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，
∴AC⊥平面FAB．
∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF．
(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，AB，AC，AF的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，23，0)，E(－1，3，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设BPPE＝λ，则λ>0，P2-λ1+λ，3λ1+λ，2λ1+λ.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．
由AP＝2-λ1+λ，3λ1+λ，2λ1+λ，AC＝(0，23，0)，
得m·AP=2-λ1+λx+3λ1+λy+2λ1+λz=0，m·AC=23y=0，
即y=0， z=λ-22λx，
令x＝1，则z＝λ-22λ，所以m＝1，0，λ-22λ为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝1，33，1为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝1＋λ-22λ＝0，即λ＝23时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时BPPE＝23.