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人教A版高中数学选择性必修第一册微专题强化练1空间向量应用的综合问题含答案
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微专题强化练(一)1.B 2.C 3.B 4.C 5.25 6.35 7.解:(1)证明:如图所示,在平行四边形ABCD中,连接AC,因为AB=22,BC=2,∠ABC=45°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos 45°=4,得AC=2,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.又AD∥BC,所以AD⊥AC.因为AD=AP=2,DP=22,所以PA⊥AD,又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以AD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,所以AD⊥PC.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,PA ⊂侧面PAD,所以PA⊥底面ABCD,所以直线AC,AD,AP两两垂直,以A为原点,直线DA,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(-1,1,0),P(0,0,2),所以PC=(0,2,-2),PD=(-2,0,-2),PB=(2,2,-2).设PFPB=λ(λ∈[0,1]),则PF=(2λ,2λ,-2λ),F(2λ,2λ,-2λ+2),所以EF=(2λ+1,2λ-1,-2λ+2).易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),由n·PC=0,n·PD=0,得2y-2z=0,-2x-2z=0,令x=1,得n=(1,-1,-1).因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等,所以|cos 〈EF,m〉|=|cos 〈EF,n〉|,即EF·mEFm=EF·nEFn,所以|-2λ+2|=2λ3,即3|λ-1|=|λ|(λ∈[0,1]),解得λ=3-32λ=3+32舍,所以PFPB=3-32,即当PFPB=3-32时,直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.
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