5.2二次函数的图形和性质 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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5.2二次函数的图形和性质苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(−2,y1)、B(1,y2)两点，则下列关系式一定正确的是(    )A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>02.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点(−1,1)；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x>0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是(    )A. y=−x B. y=1x C. y=x2 D. y=−1x3.已知点(−3,y1)、(−1,y2)、(1,y3)在下列某一函数图象上，且y30B. a+b=1C. a+b+c=0D. b2−4ac=−4a11.若关于x的二次函数y=x2−ax+1，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程12−x=2+1−axx−2有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有(    )A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个12.若A(m+1,y1)、B(m,y2)，C(m−2,y3)为抛物线y=ax2−4ax+2(a<0)上三点，且总有y2>y3>y1，则m的取值范围是(    )A. m>2 B. 2< m<52 C. 523第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)三点，则y1、y2、y3大小关系是          (用“<”号连接).14.小明同学在用描点法画二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)图象时，列出了下面表格：则m的值是          ．15.下列关于二次函数y=−(x−m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是          ．16.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3)，B(n,3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是          ．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)已知二次函数y=x2−2mx+3(m是常数)．(1)若m=1，①该二次函数图象的顶点坐标为______；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为______；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为______．(2)当−1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．18.(本小题8分)已知二次函数y=x2+2x−3．  (1)求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；(2)在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y<0时，x的取值范围．19.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,−4)、B(2,0)，交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点C(3,a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(00)个单位长度得到抛物线G′，若抛物线G′与△PAB的边有且只有两个交点，求实数t的取值范围．21.(本小题8分)已知二次函数y=12x2+bx+1．(1)若b=−1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；(2)若对于任意的0⩽x⩽2，都有y⩾−1，求b的取值范围．22.(本小题8分)已知二次函数y=ax2−2ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=______；(2)当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．23.(本小题8分)已知：二次函数y=x2−4．(1)写出该函数图象的顶点坐标；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？24.(本小题8分)设y=(x−a1)2+(x−a2)2+…+(x−an)2.求证：当x是a1、a2、…、an的平均数时，y的值最小．25.(本小题8分)已知：二次函数y=x2−mx+m+1的图象经过0,5．(1)求此二次函数的表达式；(2)用配方法将其化为y=ax−h2+k的形式．答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．依据抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，解答即可．【解答】解：∵y=ax2(a>0)，∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，A(−2,y1)在对称轴的左侧，B(1,y2)在对称轴的右侧，点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1>y2>0．故选C．2.【答案】D 【解析】解：把点(−1,1)分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；又函数过第四象限，而y=x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；对于函数y=−x，当x>0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．故选：D．结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断y的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．【解答】解：A.y=3x，因为3>0，所以y随x的增大而增大，所以y10时，y随x的增大而减小，所以y20时，y随x的增大而增大，所以y30，∴ac<0，故选项A错误，不合题意；∵顶点坐标为(12,1)，∴对称轴为直线x=−b2a=12，∴a+b=0，故选项B错误，不合题意；∵x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故选项C错误，不合题意；∵−b2a=12，∴b=−a，∵函数的最大值为1，∴4ac−b24a=1，∴b2−4ac=−4a，故选项D正确，符合题意．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】B 【解析】解：∵二次函数y=x2−ax+1的对称轴为：x=−−a2=a2，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，∴a2≥−2，∴a≥−4；方程两边同时乘(x−2)得：−1=2(x−2)+1−ax，解得：x=−2a−2，∴−2a−2>0，且−2 a−2≠2，∴a<2且a≠1，∴−4≤a<2且a≠1，∵a为整数，∴a=−4，−3，−2，−1，0．故选：B．根据二次函数的性质列出不等式求得a的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出a的范围，最后根据a为整数，写出a的值即可．本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，注意分式方程要检验．12.【答案】C 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线开口方向及对称轴分类讨论y2>y3，y3>y1，可得m的取值范围．【解答】解：∵y=ax2−4ax+2(a<0)，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−4a2a=2，∵y2>y3，∴m+m−22<2解得m<3，∵y3>y1，∴m−2+m+12>2，解得m>52．综上所述：m的取值范围是52|3−2|，A(−1,y1)，B(2,y2)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为−1<1<2，于是y1>y3>y2.故答案为：y2y2；于是y1>y3>y2.本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．14.【答案】6 【解析】解：由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3)，∴对称轴为x=1，∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，∵当x=3时，y=6，∴当x=-1时，m=6.故答案为：6.根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．15.【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：①∵函数y=−(x−m)2+m2+1(m为常数)与函数y=−x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y=−(x−m)2+m2+1中，令x=0，则y=−m2+m2+1=1，∴该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论②正确；③∵y=−(x−m)2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，当x>m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x=m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上，故结论④正确，故答案为①②④．16.【答案】74 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，根据二次函数的性质把x=12代入代数式即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1(a≠0)，∴顶点坐标为(−2,1)，∵抛物线过点A(m,3)，B(n,3)两点，∴a>0，∵线段AB的长不大于4，当x=0时，y=4a+1，∴由图可知：4a+1≥3，∴a≥12，∴a2+a+1的最小值为：(12)2+12+1=74，故答案为74．   17.【答案】解：(1)①(1,2)；②2；③3；(2)∵对称轴为x=−b2a=−−2m2=m，当m<−1时，且在−1≤x≤3时有最小值，∴x=−1时，有最小值1，∴1=(−1)2−2m×(−1)+3，解得m=−32；当−1≤m≤3时，且在−1≤x≤3时有最小值，∴x=m时，有最小值1，∴1=m2−2m×m+3，∴m=± 2，∵−1≤m≤3，∴m= 2；当m>3时，且在−1≤x≤3时有最小值，∴x=3时，有最小值1，∴1=32−2m×3+3，解得m=116<3，舍去．综上所述，m=−32或 2． 【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式．(1)①把m=1代入，得y=x2−2x+3，利用顶点坐标公式求解即可；②y=x2−2x+3，对称轴是直线x=1，在0≤x≤4之间，故可求最小值；③y=x2−2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值；(2)根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可．【解答】解：(1)当m=1时，y=x2−2x+3，①y=x2−2x+3=x2−2x+1+2，=(x−1)2+2，∴顶点坐标为(1,2)，故答案为：(1,2)；②y=x2−2x+3=(x−1)2+2，所以最小值为2，故答案为：2；③y=x2−2x+3，当2≤x≤5时，在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∴当x=2时，取最小值y=22−2×2+3=3，故答案为：3；(2)见答案．18.【答案】(1)解： ∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4 ，∴ 二次函数图象的对称轴为： x=−1 ，当 x=0 时， y=−3 ，∴ 与 y 轴的交点坐标为 (0,−3) ；(2)二次函数 y=x2+2x−3 图象的顶点坐标为 (−1,−4) ，对称轴为直线 x=−1 ，当 y=0 时， x2+2x−3=0 ，解得： x1=−3 ， x2=1 ，∴ 二次函数图象与 x 轴交点坐标为 (−3,0) 或 (1,0) ；图象如下：  ∴y<0 时，自变量 x 的取值范围： −30)个单位长度得到抛物线G′，即y=−x2+3x−6+t，当G′与直线AB只有一个交点时，y=−x2+3x−6+ty=x−3整理得−x2+2x−3+t=0，Δ=4−4×(−1)×(−3+t)=0，解得：t=2，此时G′与BP有一个交点，与AP有一个交点，共三个交点，不符合题意，∴由图象得：当03时，抛物线与BP无交点，与AB、AP各有一个交点，满足题意;当G′过点A时，将A(3,0)代入y=−x2+3x−6+t，解得：t=6，此时G′与△PAB的边只有一个交点，∴当t<6时，G′与△PAB的边AB，AP各有一个交点;综上可得：t的取值范围为0−1，∴b≥0; ②当0<−b<2时，即−20时，∵对称轴为x=1，当x=1时，y有最小值为−a，当x=3时，y有最大值为3a，∴3a−(−a)=4．∴a=1，∴二次函数的表达式为：y=x2−2x；当a<0时，同理可得y有最大值为−a；y有最小值为3a，∴−a−3a=4，∴a=−1，∴二次函数的表达式为：y=−x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为：y=x2−2x或y=−x2+2x；(3)∵a<0，对称轴为x=1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，x=−1和x=3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥−1，t+1≤3，∴−1≤t≤2 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．(1)由对称轴是直线x=−b2a，可求解；(2)分a>0或a<0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；(3)利用函数图象的性质可求解．【解答】解：(1)由题意可得：对称轴是直线x=−−2a2a=1，故答案为：1；(2)见答案；(3)见答案．23.【答案】(1) 0,−4(2)该函数图象与y轴的交点坐标为 0,−4 ，与x轴的交点坐标为 2,0 和 −2,0 ；(3)当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大． 【解析】【分析】(1)根据二次函数的性质，即可求解；(2)令 x=0 和 y=0 ，解方程求解即可；(3)根据二次函数的性质，即可求解．【详解】(1)∵二次函数 y=x2−4∴该函数图象的顶点坐标为 0,−4 ；(2)∵二次函数 y=x2−4∴当 x=0 时， y=x2−4=0−4=−4 ，∴该函数图象与y轴的交点坐标为 0,−4 ；∴当 y=0 时， 0=x2−4 ，解得 x=±2 ，∴该函数图象与x轴的交点坐标为 2,0 和 −2,0 ；(3)∵二次函数 y=x2−4 ，二次项系数为 1>0∴开口向上，∵顶点坐标为 0,−4 ，∴当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大．【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．24.【答案】证明：y=(x−a1)2+(x−a2)2+…+(x−an)2=nx2−2(a1+a2+…+an)x+(a12+a22+…+an2)∵n>0，函数图象开口向上∴当x=−b2a=−−2(a1+a2+…+an)2n=a1+a2+…+ann时，y取最小值∴当x是a1、a2、…、an的平均数时，y的值最小． 【解析】本题考查算术平均数，二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数最值的求法．将y=(x−a1)2+(x−a2)2+…+(x−an)2看作y关于x的二次函数，从而转化成求二次函数的最值来解决．25.【答案】(1) y=x2−4x+5(2) y=x−22+1 【解析】【分析】(1)把点 0,5 代入函数解析式即可求；(2)利用配方法化成顶点式即可．【详解】(1)∵二次函数 y=x2−mx+m+1 的图象经过 0,5∴将 0,5 代入 y=x2−mx+m+1 得， m+1=5解得 m=4 ，∴ y=x2−4x+5 ；(2)∵ y=x2−4x+5∴配方得， y=x2−4x+5=x−22+1 ．∴ y=x−22+1 ．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．x…−10123…y…m3236…