苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程精品当堂检测题

这是一份苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程精品当堂检测题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的图像不经过第二象限，下列结论：①a<0；②b<0；③c≤0；④b2−4ac>0.其中，所有正确结论的序号是
( )
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
2.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A. x1=0，x2=6B. x1=1，x2=7
C. x1=1，x2=−7D. x1=−1，x2=7
3.若二次函数y=x2−4x−m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是
( )
A. m≥−4B. m>−4C. m≤4D. m<4
4.一次函数y1=kx+b(k≠0)与二次函数y2=ax2−bx+b(a≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示：①ak>0；②当0y2；③−b2a>0；④b(b−4a)>0；⑤当x<0时，y1随x的增大而增大，同时y2随x的增大而减小.以上说法中正确的序号是
( )
A. ①②③④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①②④⑤
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的部分图象如图所示，图象过点(−4,0)，对称轴为直线x=−1，下列结论：①abc>0；②2a−b=0；③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=−4，x2=1；④当y>0时，−4A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
6.抛物线y=−0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程−0.5x2+bx+3=0的根为
( )
A. x1=x2=1B. x1=1，x2=−1
C. x1=1，x2=−2D. x1=1，x2=−3
7.如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的交点为A(1,-3)，B(6,1).当y1>y2时x的取值范围是
( )
A. 11D. x<1或x>6
8.如图，是函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象，通过观察图象得出了
如下结论：
①当x>3时，y随x的增大而增大；
②该函数图象与坐标轴有三个交点；
③该函数的最大值是6，最小值是−6；
④当0≤x≤4时，不等式(x−1)(x−2)(x−3)>0的解为1以上结论中正确的有( )
A. ①③
B. ①③④
C. ②④
D. ①②③
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. a>0
B. abc>0
C. b2−4ac>0
D. a+b+c<0
10.已知抛物线y=x2+bx+3的顶点坐标为(1,2)，若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0(为实数)在−1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是( )
A. 2≤t<11B. t≥2C. 611.二次函数y=x2+bx+c的图像如图所示，其对称轴为直线x=1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程x2+bx+c=0的正数解可能是
( )
A. 3B. 32C. 92D. 4
12.如图为某二次函数的部分图像，其对称轴为直线x=1，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y=−x2−x+4；
②若点B(−1,n)在这个二次函数图像上，则n=m；
③当0④该二次函数图像与x轴的一个交点为(−2,0)．
所有正确结论的序号是( )
A. ②③B. ②④C. ①③D. ③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，下列结论：①abc>0；②b2>4ac；③4a−2b+c<0；④2a=b；⑤3a+c>0.其中，正确的是 ．
14.若函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ．
15.如图：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过(−1,−2)，对称轴为直线x=2.并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间.①4a−2b+c<0；②b<1；③a+b+cb−a的最大值为3；④对于任意实数t，一定有at2+bt≤4a+2b.上述结论正确的是______ (填序号)．
16.二次函数y=x2+kx+2k−1与x轴交于Am,0、Bn,0两点，且m2+n2=7，则k的值为__________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；
(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
18.(本小题8分)
二次函数y=−x2+2x+3的图象中，将0⩽x⩽4的部分称为函数G的图象.将平行于x轴的直线y=m平行移动．
(1)求二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴的交点坐标；
(2)求直线y=m平移与函数G的图象只有一个公共点时，m的取值范围．
19.(本小题8分)
如图，抛物线y=x ​2−bx+c交x轴于点A(1,0)，交y轴交于点B，对称轴是直线x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−mx+n−12的对称轴为x=1．

(1)求m的值；
(2)若抛物线与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点A，当▵OAC是等腰直角三角形时，求n的值；
(3)点B的坐标为4,0，若该抛物线与线段OB有且只有一个交点，求n的取值范围．
21.(本小题8分)
如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点D(2,−1)．
(1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标．
(2)作CE/​/x轴交抛物线于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积．
22.(本小题8分)
已知二次函数y=2x2−4x−6．
(1)抛物线的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ；
(2)抛物线与x轴的交点坐标为______ ，与y轴的交点坐标______ ；
(3)当x满足______ 时，y随x的增大而增大；
(4)当x满足______ 时，y≥0．
23.(本小题8分)
已知抛物线y=x2−(2m−1)x+4m−6

(1)试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A；
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B(A、B不重合)，顶点为C，若ΔABC 为直角三角形，试求m的值；
(3)在满足(2)的条件时，若点B在点A的左侧，试问：抛物线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形?若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．
24.(本小题8分)
如图，一次函数y=-2x+6的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当x取何值时，-2x+6> -x2+bx+c>0；
(3)点P是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P，使△ABP面积最大，若存在，求出此时点P坐标以及△ABP面积，若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
已知，抛物线y=x2+(2m−1)x−2m(−12(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为−3，试求抛物线的解析式；
(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
(3)若抛物线经过点(x0,−4)，且对于任意实数x，不等式x2+(2m−1)x−2m≥−4都成立，当k−2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1，求直线l的解析式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质和因式分解法解一元二次方程的知识点，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．
【解答】
解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴−m2=3，
解得：m=−6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2−6x−7=0，
即(x+1)(x−7)=0，
解得x1=−1，x2=7．
故选D．
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵一次函数y随x增大而增大，∴k>0，∴ak>0，①对;
由图象可知当0y2，②对;
由图象可知抛物线对称轴在y轴右侧，∴∴−b2a>0，③对;
∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=(−b)2−4ab=b(b−4a)>0，④对;
由图象可知当x<0时，y1随x的增大而增大，同时y2随x的增大而减小，⑤对．
故选：A．
本题考查一次函数与二次函数图象共存问题，根据函数图象，利用函数性质判断选项中代数式的正负以及函数之间的大小比较．
5.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为x=−b2a<0
∴b<0，
∴abc>0，故①正确；
②∵对称轴为x=−b2a=−1，∴2a=b，
∴2a−b=0，故②正确；
③∵对称轴为x=−1，图象过点A(−4,0)，
∴图象与x轴另一个交点(2,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=−4或x=2，故③错误；
④∵抛物线开口向下，图象与x轴的交点为(−4,0)，(2,0)，
∴当y>0时，−4故选：B．
①由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，由对称轴为x=−b2a=−1，得到b<0，可对①进行分析判断；
②由对称轴为x=−b2a=−1，得到2a=b，b−2a=0，可对②进行分析判断；
③对称轴为x=−1，图象过点(−4,0)，得到图象与x轴另一个交点(2,0)，可对③进行分析判断；
④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为(−4,0)，(2,0)，即可对④进行判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
6.【答案】D
【解析】解：观察图象可知，抛物线 y=−0.5x2+bx+3 与x轴的一个交点为 1,0 ，对称轴为直线 x=−1 ，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为 −3,0 ，
∴一元二次方程 −0.5x2+bx+3=0 的解为 x1=1 ， x2=−3 ．
故选D．
直接观察图象，抛物线与x轴交于 1,0 ，对称轴是直线 x=−1 ，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程 −0.5x2+bx+3=0 的解．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的交点A、B的坐标分别为(1,−3)、(6,1)，
∴当y1>y2时，x的取值范围是x<1或x>6，
故选：D．
根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可．
本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，解决这类题目的关键是数形结合：能根据图象得出正确信息．
8.【答案】A
【解析】解：①观察函数图象可知，当x>3时，图象是向右上方延伸的，即y随x的增大而增大．故①正确．
②观察图象可知，该函数图象与x轴有3个交点，与y轴有一个交点，所以与坐标轴有四个交点．故②错误．
③观察图象可知，当x=0时，函数有最小值−6；当x=4时，函数有最大值6.故③正确．
④观察图象可知，函数图象在x轴上方部分x的取值范围是1故选：A．
利用数形结合的思想，对照所给的函数图象，可逐一验证是否正确．
本题考查了用数形结合的思想解决问题，正确识别图象中所给出的信息是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵由函数图象开口向上可知，a>0，
故选项A正确，不符合题意；
B、由函数的对称轴在y轴左侧，a，b同号，则ab>0，
与y轴的交点在x轴上方，可得c>0，
∴abc>0，
故选项B正确，不符合题意；
C、抛物线与x轴有两个交点，则Δ>0，
∴b2−4ac>0，
故选项C正确，不符合题意；
D、当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系；由抛物线对称轴的位置和与y轴的交点判断abc与0的关系；利用图象中抛物线与x轴有两个交点可判断Δ>0；当x=1时，y>0可判断a+b+c与0的关系．
此题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，抛物线与x轴交点的个数与Δ的关系，正确识图是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+3的顶点坐标为(1,2)，
∴2=1+b+3，
解得b=−2，
∴抛物线解析式为y=x2−2x+3，
∵x=5比x=−1离函数的对称轴远，
∴当x=5时，y=x2−2x+3=25−10+3=18，
关于x的一元二次方程x2−2x+3−t=0(为实数)在−1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
则y=x2−2x+3与y=t有两个交点，
如图所示：
由图象可得：实数t的取值范围是2故选：D．
先把顶点坐标代入y=x2+bx+3中求出函数解析式，再根据关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0(为实数)在−1≤x≤5范围内有两个不同的实数根则则y=x2−2x+3与y=t有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图象得出结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
11.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x=1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围，即可解答．
【解答】
解：∵抛物线y=x2+bx+c对称轴为x=1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是−3∴对称轴右侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是4∴正数解可能是x=92．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征有关知识，根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】
解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为(1,4.5)，抛物线和y轴的交点坐标为(0,4)，
则设抛物线的表达式为y=a(x−1)2+4.5，将(0,4)代入上式得：4=a(0−1)2+4.5，解得a=−0.5，
故抛物线的表达式为y=−0.5(x−1)2+4.5=−0.5x2+x+4，故①错误，不符合题意；
②从点A、B的横坐标看，点A和点B关于对称轴直线x=1对称，故n=m正确，符合题意；
③从图象看，当0④令y=−0.5(x−1)2+4.5=0，得x=−2或x=4，∴抛物线和x轴的两个交点坐标为(−2,0)和(4,0)，故④正确，符合题意，
因此正确的是②④．
13.【答案】②③④⑤
【解析】解：∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，
∴a>0，c<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b=2a>0，
∴abc<0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴b2>4ac，所以②正确；
∵x=-2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b=2a，所以④正确；
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∵b=2a，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，所以⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
由抛物线开口方向得到a>0，交y轴的负半轴得到c<0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符号，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=-2时，y<0可对③进行判断；利用对称轴即可判断④；利用抛物线的对称轴方程得到b=2a，加上x=1时，y>0，即a+b+c>0，则可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
14.【答案】b<1且b≠0
【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点与方程的解的关系，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程的根的个数间的关系，属于中档题．
抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点，依此列出不等式求解即可．
解：∵函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴Δ=(−2)2−4b>0b≠0,
解得b<1且b≠0.
故答案为b<1且b≠0.
15.【答案】①④
【解析】解：由图象可知，当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，故①正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过(−1,−2)，
∴a−b+c=−2，
∴c=−2−5a，
∵c<0，
∴−2−5a<0，
解得a>−25，
∴−4a<85，
∴b<85，故②错误；
∵b=−4a，c=−2−5a，
∴a+b+cb−a=a−4a−2−5a−4a−a=−8a−2−5a=85+25a，
∵a<0，
∴25a<0，
∴85+25a<85，
即a+b+cb−a<85，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，
∴x=2时，函数有最大值y=4a+2b+c，
∴对于任意实数t，一定有at2+bt+c≤4a+2b+c，
∴at2+bt≤4a+2b，故④正确；
∴正确的有①④，
故答案为：①④．
由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，可判定①正确；由对称轴为直线x=2，得b=−4a，而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过(−1,−2)，可得c=−2−5a，根据c<0，得a>−25，故b<85，判断②错误；由a+b+cb−a=a−4a−2−5a−4a−a=−8a−2−5a=85+25a，且a<0，可得a+b+cb−a<85，判断③错误；根据抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，知x=2时，函数有最大值y=4a+2b+c，可得at2+bt+c<4a+2b+c，从而可判断④正确．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
16.【答案】−1
【解析】解：∵二次函数y=x2+kx+2k−1与x轴交于A(m,0)、B(n,0)两点，
∴m，n是x2+kx+2k−1=0的两个实数根，
∴m+n=−k，mn=2k−1，
∵m2+n2=7，
∴(m+n)2−2mn=7，
∴(−k)2−2(2k−1)=7，
解得k=5或k=−1，
当k=5时，y=x2+5x+9与x轴无交点，
∴k=5舍去，
当k=−1时，y=x2−x−3有两个交点，
∴k=−1符合题意，
故答案为：−1．
由二次函数y=x2+kx+2k−1与x轴交于A(m,0)、B(n,0)两点，知m，n是x2+kx+2k−1=0的两个实数根，又m2+n2=7，可得(−k)2−2(2k−1)=7，解得k=5或k=−1，再检验即可得到答案．
本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程根与系数的关系．
17.【答案】解：(1)将B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)，化简得，m2+m=0，
则m=0(舍)或m=−1，
∴m=−1，
∴y=−x2+4x−3．
∴C(0,−3)，
设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
将B(3,0)，C(0,−3)代入表达式，可得，
0=3k+b−3=b，解得，k=1b=−3，
∴直线BC的函数表达式为y=x−3．
(2)如图，过点A作AP1/​/BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．

由(1)得直线BC的表达式为y=x−3，A(1,0)，
∴直线AG的表达式为y=x−1，
联立y=x−1y=−x2+4x−3，解得x=1y=0，或x=2y=1，
∴P1(2,1)或(1,0)，
由直线AG的表达式可得G(0,−1)，
∴GC=2，CH=2，
∴直线P2P3的表达式为：y=x−5，
联立y=x−5y=−x2+4x−3，
解得，x=3− 172y=−7− 172，或，x=3+ 172y=−7+ 172，
∴P2(3− 172,−7− 172)，P3(3+ 172,−7+ 172)；
综上可得，符合题意的点P的坐标为：(2,1)，(1,0)，(3− 172,−7− 172)，(3+ 172,−7+ 172)；
(3)如图，取点Q使∠ACQ=45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
∴△CDE≌△DAF(AAS)，
∴AF=DE，CE=DF．
设DE=AF=a，则CE=DF=a+1，
由OC=3，则DF=3−a，
∴a+1=3−a，解得a=1．
∴D(2,−2)，又C(0,−3)，
∴直线CD对应的表达式为y=12x−3，
设Q(n,12n−3)，代人y=−x2+4x−3，
∴12n−3=−n2+4n−3，整理得n2−72n=0．
又n≠0，则n=72．
∴Q(72,−54).
【解析】(1)把点B坐标直接代入抛物线的表达式，可求m的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点C的坐标，设直线BC的表达式，把点B和点C的坐标代入函数表达式即可；
(2)过点A作直线BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标；设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P2P3，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点P的坐标；
(3)取点Q使∠ACQ=45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，可得△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，联立求出点Q的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查利用平行转化面积，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．
18.【答案】解：由题意可知，函数G的图象如图所示
(1)令y=0，−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，
∴ 图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)．
(2)由题意可知图象G中：当x=0时，y=3；当x=4时，y=−5；顶点坐标为(1,4)．
当直线y=m平移与函数G图象只有一个交点时，m=4或−5≤m<3．

【解析】本题考查求函数图象与x轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题．
19.【答案】解：(1)由题意得，1−b+c=0b2=2，
解得b=4c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2−4x+3；
(2)设D(m,n)，
由题意12×2×|n|=8，
∴n=±8
当n=8时，x2−4x+3=8，解得x=5或−1，
∴D(5,8)或(−1,8)，
当n=−8时，x2−4x+3=−8，方程无解，
综上所述，D(5,8)或(−1,8)．
【解析】(1)根据抛物线经过点A(1,0)，对称轴是直线x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
(2)设D(m,n)，列出方程即可解决问题．
本题考查二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
20.【答案】(1) m=2
(2) n=3 或 −1
(3) −15≤n<1 或 n=3

【解析】【分析】(1)由抛物线对称轴的公式即可求解；
(2)先求得点 C 的坐标，再根据 ▵OAC 是等腰直角三角形得出点 A 的坐标，代入求得 n 即可；
(3)分两种情况：抛物线的顶点在 x 轴上和抛物线的顶点在 x 轴下方两种情况求解可得．
【详解】(1)解：二次函数的对称轴是直线 x=− −m2=1 ，
解得： m=2 ；
(2)抛物线对称轴与 x 轴交于点 A ，则 OA=1 ，当 x=0 时， y=12n−1 ，当 ▵OAC 是等腰直角三角形时， OA=OC=1 ，即 ±1=12(n−1) ，
解得： n=3 或 −1 ；
(3)由(1)知，抛物线的表达式为： y=x2−2x+12(n−1) ，
当抛物线的顶点在 x 轴上时， Δ=(−2)2−4× 12(n−1)=0 ，
解得： n=3 ；
当抛物线的顶点在 x 轴下方时，如图，

由图可知当 x=0 时， y<0 ；当 x=4 时， y≥0 ，即 12(n−1)<0 且 16−8+12(n−1)≥0 ，
解得： −15≤n<1 ，
综上： −15≤n<1 或 n=3 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段 O 有且只有一个公共点得出 x=0 时， y<0；x=4 时， y≥0 的结论．
21.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点D(2,−1)，
∴抛物线对应的函数表达式可设为y=a(x−2)2−1．
将点C(0,3)代入，可得4a−1=3，解得a=1，
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2−4x+3．
令y=0，则x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∴点A(1,0)，B(3,0)．
(2)∵点C(0,3)，
∴当y=3时，即x2−4x+3=3，解得x1=0，x2=4，
∴点E(4,3)，
∴CE=4，OC=3，
∴S△ACE=12CE⋅OC=12×4×3=6．
【解析】(1)依据题意，可设抛物线为y=a(x−2)2−1，结合条件可解得a=1，再令y=0，即可得解；
(2)依据题意，令y=3时，求出点E(4,3)，进而可以得解．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式，会求直线与抛物线的交点坐标；理解坐标与图形的性质；灵活利用三角形的面积公式求图形的面积．
22.【答案】直线x=1 (1,−8) (−1,0)和(3,0) (0,−6) x>1 x≤−1或x≥3
【解析】解：∵y=2x2−4x−6，
∴y=2(x−1)2−8，
∴该抛物线的对称轴为：直线x=1，顶点坐标是(1,−8)，
当y=0时，0=2x2−4x−6，可得，x1=−1，x2=3，
当x=0时，y=−6，
∴图象与x轴的交点坐标是(−1,0)和(3,0)，与y轴的交点坐标(0,−6)，
∵a=2>0，对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴当x≤−1或x≥3时，y≥0，
由上可得，(1)抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,−8)；
故答案为：直线x=1，(1,−8)；
(2)图象与x轴的交点坐标是(−1,0)和(3,0)，与y轴的交点坐标是(0,−6)；
故答案为：(−1,0)和(3,0)，(0,−6)；
(3)当x>1时，y随x的增大而增大；
故答案为：x>1；
(4)当x≤−1或x≥3时，y≥0．
故答案为：x≤−1或x≥3．
(1)将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)令y=0和x=0可以分别求得图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
(3)根据二次项系数和对称轴，可以得到当x为何值时，y随x的增大而增大；
(4)根据二次项系数和与x轴的交点，可以得到x为何值时y≥0．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，能将二次函数解析式化为顶点式，明确与x轴相交时y=0，与y轴相交时x=0，由二次项系数可以和对称轴得到y随x如何变化，在什么范围内y≥0．
23.【答案】解：(1)令x2−(2m−1)x+4m−6=0，
[x−(2m−3)]·(x−2)=0
解得：x1=2m−3，x2=2
∴对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A(2,0)；
(2)根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°如图，
过点C作CP⊥AB于P，则CP=12AB，
∵抛物线y=x2−(2m−1)x+4m−6的顶点
为C(2m−12，20m−4m2−254)
∴CP=|20m−4m2−254|，12AB=12|(2m−3)−2|
∴4m ​2−20m+25=10−4m，
∴m1=32，m2=52(舍去)
或4m ​2−20m+25=4m−10，
∴m3=72，m4=52(舍去)
综上可得：m的值为32或72
(3)依题意得：m=1.5，此时抛物线方程为y=x2−2x
设存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，
i)若BD/​/AC，设直线AC方程为y=k1x+b1，
把A、C坐标代入直线方程得，0=2k1+b1−1=k1+b1
解得k1=1b1=−2
∴直线AC方程为y=x−2
∴直线BD方程为y=x
由y=xy=x2−2x
得x1=0y1=0，x2=3y2=3
∴D(3,3)
ii)若AD/​/BC，由于直线BC方程为y=−x，
所以，可设直线AD的方程为y=−x+b2，
把A(−2,0)代入得，0=−2+b2，
∴b2=2，
∴y=−x+2，
∴y=−x+2y=x2−2x
解得x1=2y1=0,x2=−1y2=3
∴D(−1,3)
综上可得：抛物线上存在点D(3,3)或D(−1,3)，使得以为A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．
【解析】本题考查的是二次函数的综合，一次函数解析式的求法，梯形的性质，二次函数与一元二次方程有关知识
(1)令x ​2−(2m−1)x+4m−6=0，可解得：x ​1=2m−3，x ​2=2，所以对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A(2,0)．
(2)根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过点C作CP⊥AB于P，则CP=12AB，利用抛物线y=x2−(2m−1)x+4m−6的顶点公式可知，顶点为C(2m−12，20m−4m2−254)，可得4m2−20m+25=10−4m，解得m1=32，m2=52(舍去)或4m2−20m+25=4m−10，m3=72，m4=52(舍去)，综合可得：m的值为32或72．
(3)先求得抛物线方程为y=x2−2x，设存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，
i)若BD/​/AC，设直线AC方程为y=k ​1x+b ​1，把A、C坐标代入直线方程得，直线AC方程为y=x−2，直线BD方程为y=x，联立方程组可求得交点坐标为D(3,3)．
ii)若AD//BC，由于直线BC方程为y=−x，所以，可设直线AD的方程为y=−x+b ​2，把A(−2,0)代入得，y=−x+2，联立方程组可求得交点坐标为D(−1,3)．
所以抛物线上存在点D(3,3)或D(−1,3)，使得以为A、B、C、D为顶点的四边形是梯形
24.【答案】解：∵一次函数y=−2x+6的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴A(0,6)，B(3,0)，
∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A、B两点，
∴c=6−9+3b+c=0，
解得：b=1c=6，
∴二次函数的解析式的解析式为：y=−x2+x+6；
(2)当y=0时，−x2+x+6=0，解得x1=−2，x2=3，
∴抛物线与x轴交点坐标为(−2,0)，(3,0)，
当x<0或x>3时，−2x+6>−x2+bx+c，
但只有当−2−x2+bx+c>0，
当−2−x2+bx+c>0;
(2)+上D / 0.th．
(3)过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q，
由点P在y=−x2+x+6的图象上，
可设P(m,−m2+m+6)(0则PQ=−m2+m+6+2m−6=−m2+3m，
∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×(−m2+3m)=−32(m−32)2+278，
∵−32<0，
∴当m=32时，即P点坐标为(32,214)时，S△ABP取得最大值，最大值为278．
【解析】(1)先求出一次函数y=−2x+6与y轴、x轴交点A、B的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；
(2)观察图象直接得到答案；
(3)过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q，先利用图象上点的特征表示出P、Q两点的坐标，再求出PQ的长，进而表示出△ABP的面积，利用顶点坐标求最值．
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)抛物线与y轴交点的纵坐标为−3，即：−2m=−3，解得：m=32，
则抛物线表达式为：y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
(2)抛物线：y=x2+(2m−1)x−2m，
直线：y=(k−1)x+2m−k+2，
x2+(2m−k)x−4m+k−2=0，
△=(2m−k)2−4(−4m+k−2)=(2m−k)2+16m−4k+8，
=(2m−k)2+4(2m−k)+8m+4+4，
=(2m−k+2)2+8m+4，
∵m>−12，
∴(2m−k+2)2+8m+4>0，
∴△>0，抛物线与直线l必有两个交点；
(3)依题意可知y最小值=−4，
即4×1×(−2m)−(2m−1)24=−4，
解得：m=32或m=−52，
∵−12∴m=32，此时抛物线的对称轴为直线x=−1，
①当k≤−1时，抛物线在k−2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小．此时y最小值=k2+2k−3，
∴k2+2k−3=2k+1，
解得：k1=2>−1(舍去)，k2=−2，
②当k−2<−1∴2k+1=−4
∴解得：k=−52<−1 (舍去)；
③当k−2≥−1，即k≥1时，抛物线在k−2≤x≤k上，图象上升，y随x增大而增大，
此时y最小值=(k−2)2+2 (k−2)−3，
(k−2)2+2 (k−2)−3=2k+1，
解得：k1=2+2 2，k2=2−2 2<1 (舍去)，
综上所述，直线l：y=−3x+7或y=(1+2 2)x+3−2 2．
【解析】(1)抛物线与y轴交点的纵坐标为−3，即：−2m=−3，解得：m=32，即可求解；
(2)联立抛物线和直线的表达式得：x2+(2m−k)x−4m+k−2=0，由△>0，即可求解；
(3)分k≤−1、k−2<−1本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、根的判别式等，要注意分类求解，避免遗漏．