初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割精品随堂练习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割精品随堂练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为cm.( )
A. 5−1B. 25−2C. 55−5D. 105−10
2.把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为( )
A. 3− 5B. 5−1C. 1+ 5D. 2− 5
3.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若BP= 5−1，AB的长为( )
A. 5+1B. 2C. 3+ 5D. 3− 5
4.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC> BC，则AC的长为
( )
A. 5−12cmB. 2( 5−1)cmC. 4( 5−1)cmD. 6( 5−1)cm
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度(俗称“腿长”)之比是黄金比，著名的“断臂维纳斯”便是如此.假定一位身高180cm的时尚模特符合最美人体的标准，那她的“腿长”最接近的数据是( )
A. 107cm
B. 109cm
C. 111cm
D. 113cm
6.已知C是线段AB的黄金分割点，ACPB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
15.已知线段AB=4cm，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=______．
16.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12，这个数我们把它叫做黄金分割数.若 5−1介于整数n和n+1之间，则n的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且ADBC)，则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y=ax2+bx+c，满足b2=ac(b≠0)，则称此抛物线为黄金抛物线．
(Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x=2，且与y轴交于点(0,8)，求y的最小值；
(Ⅱ)若黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3)，把它向下平移后与x轴交于A( 5+3,0)，B(x0,0)，判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1，b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q，q2+nq−1=p，求pq−n的值．
21.(本小题8分)
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可采用下面的方法：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．
(1)求∠3的度数；
(2)在第(1)题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 5−12)，若已知AB=4，求BC的长．
22.(本小题8分)
如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积．比较S1与S2的大小，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，设线段AC=1．
(1)过点C画CD⊥AC，使CD=12AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
(2)在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．

(1)求∠B的度数；
(2)我们把顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的底边长与腰长的比等于黄金比 5−12．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
25.(本小题8分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC²=BC×AB，要求线段AC的长度，我们可以先设AC= x，则BC=AB−AC=1−x，
∵AC²=BC×AB，∴x2=1×1-x
从而可得：AC的长度为__________________
(2)根据上述方法，已知线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，求线段AD的长度；
(3)已知线段AD上的点E满足关系式AE²=DE×AD，请直接写出线段AE的长度；
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=5 5−5(cm)，
故选：C．
直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
此题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是 5−12是解题的关键．
根据黄金比值是 5−12计算即可．
【解答】
解：把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为 5−12×2= 5−1，
则较短线段的长为：2−( 5−1)=3− 5，
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，BP= 5−1，
∴BPAP=APAB= 5−12，
∴AP=2，
∴AB=AP+BP=2+ 5−1= 5+1，
故选：A．
先根据黄金分割的定义求出AP的长，即可求解．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据黄金分割点的概念得：AC= 5−12AB=4( 5−1)cm．
故选：C．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比．
考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．
5.【答案】C
【解析】解：设模特的“腿长”为x cm，
∵模特满足黄金分割比，且身高为180cm，
∴180−xx≈0.618，
解得：x≈111cm，
即模特的“腿长”约为111cm，
故选：C．
设模特的“腿长”为xcm，由黄金分割的定义得180−xx≈0.618，求解即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，解题的关键是掌握黄金比值约为0.618．
6.【答案】A
【解析】解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，ACEB，
∴AD=AE= 5−12a，BE=BC=a(1− 5−12)=3− 52a，
∴S△ADE=12⋅( 5−12a)2=3− 54a2，S△ABC=12×a×3− 52a=3− 54a2，
∴S△ADE=S△ABC，
即S1+S2=S2+S3，
∴S1=S3，
故选：C．
设AB=a.求出△ADE，△ABC的面积(用a表示)，可得结论．
本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠A=180°−∠C−∠ABC=36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=36°，
∴∠CBE=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB=CB：CA，
∵∠CEB=∠A+∠ABE=72°，
∴∠CEB=∠C，
∴BC=BE=AE，
∴CE：AE=AE：CA，
∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE>CE，
∴AE= 5−12AC=2 5−2，
∴CE=AC−AE=4−(2 5−2)=6−2 5，
故选：D．
证△CBE∽△CAB，得CE：CB=CB：CA，再证BC=BE=AE，然后证点E是线段AC的黄金分割点，求出AE的长，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△CBE∽△CAB是解题的关键．
13.【答案】5 5−5
【解析】解：∵B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，AC=10，
∴AB= 5−12AC= 5−12×10=5 5−5，
故答案为：5 5−5．
根据黄金分割的定义可得AB= 5−12AC，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14.【答案】略
【解析】略
15.【答案】(2 5−2)cm
【解析】解：由于C为线段AB=4cm的黄金分割点，
且AC>BC，
则AC= 5−12AB= 5−12×4=(2 5−2)cm．
故答案为：(2 5−2)cm．
根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，所以AC= 5−12AB，代入数据即可得出AC的长度．
此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
16.【答案】1
【解析】解：∵2< 5BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
24.【答案】解：(1)设∠B=x，
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠B=x，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x，
∵AC=DC，
∴∠A=∠ADC=2x，
∵∠ACE=∠B+∠A，
∴x+2x=108°，解得x=36°，
即∠B的度数为36°；
(2)①△ABC、△CAD都是黄金三角形．
∵∠BCA=180°−∠ACE=72°，
而∠A=2×36°=72°，
∴∠A=∠ACB，
而∠B=36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD=∠ACB−∠DCB=72°−36°=36°，
而CA=CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴ACBC= 5−12，
而BC=2，
∴AC= 5−1，
∴CD=CA= 5−1，
∵BD=CD= 5−1，
∴AD=AB−BD=2−( 5−1)=3− 5．
【解析】本题考查了考查了等腰三角形的性质，黄金分割，三角形外角性质等知识．
(1)设∠B=x，利用等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=x，则∠ADC=2x，再表示出∠A=∠ADC=2x，利用三角形外角性质得到x+2x=108°，解方程求出x即可；
(2)①利用黄金三角形的定义可判断△ABC、△CAD都是黄金三角形．
②根据黄金三角形的定义得到ACBC= 5−12，则AC= 5−1，所以CD=CA=BD= 5−1，然后计算AB−BD即可．
25.【答案】解：(1) 5−12；
(2)设线段AD的长度为y，AC=l，
因为线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，
所以y2=ll−y，
所以y1= 5−12l,y2=− 5−12l(舍去)，
所以线段AD的长度为： 5−12AC;
(3)根据(2)的解答过程，可得：
AE的长度为： 5−12AD．
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割的应用，一元二次方程的应用．
(1)解一元二次方程即可；
(2)设线段AD的长度为y，AC=l，根据线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，列方程求得答案；
(3)根据(2)的解答过程，可得答案．
【解答】
解：(1)先设AC= x，则BC=AB−AC=1−x，
∵AC²=BC×AB，
∴x2=1×1-x，
x2+x−1=0，
解得：x1= 5−12,x2=− 5−12(负值舍去)，
AC的长度为 5−12；
故答案为 5−12；
(2)见答案；
(3)见答案．如图1，公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.如图2，在线段AB上找一点C，把线段AB分成AC和CB两段，其中AC是较短的一段.如果AC：CB=CB：AB，那么称线段AB被点C黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为0.618，即AC≈0.618BC，BC≈0.618AB．