苏科版九年级下册6.3 相似图形精品同步练习题

这是一份苏科版九年级下册6.3 相似图形精品同步练习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为
( )
A. 4：9B. 2：3C. 2： 3D. 16：81
2.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是
( )
A. 2：1B. 4：1C. 3：1D. 2：1
3.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ( )
A. 5−12B. 5+12C. 3D. 2
4.下列关于“相似形”的说法中正确的是( )
A. 相似形形状相同、大小不同B. 图形的放缩运动可以得到相似形
C. 对应边成比例的两个多边形是相似形D. 相似形是全等形的特例
5.如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为( )
A. 2：1
B. 3：1
C. 2：1
D. 1：1
6.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为
( )
A. 5:6B. 6:5C. 5:6或6:5D. 8:15
7.两个相似多边形的相似比为5：3，已知一个多边形的最短边长为15，则另一个多边形的最短边长为( )
A. 15B. 9C. 25D. 25或9
8.下列说法不正确的是( )
A. 含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B. 所有的矩形是相似的
C. 所有边数相等的正多边形是相似的
D. 所有的等边三角形都是相似的
9.甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似.”
乙说：“将菱形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个菱形相似.”
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对
10.如图，Rt△ABC与Rt△ADE相似，且∠B=60°，CD=2，DE=1，则BC的长为
( )
A. 2B. 4 33C. 2 3D. 4 3
11.如图，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论正确的是
( )
A. xy=1B. xy=abC. xy=baD. 以上答案都不对
12.如图所示的两个五边形相似，则以下a，b，c，d的值错误的是( )
A. a=3B. b=4.5C. c=4D. d=8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.某同学的眼睛到黑板的距离是6 m，课本上的文字大小为0.4 cm×0.35 cm.要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30 cm的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为__________(答案请按同一形式书写)．
14.一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的面积为______ ．
16.如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20，x为______ 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，▵ABC的高AD，BE相交于点O．

(1)写出一个与▵ACD相似的三角形(不添加其他线段)，这个三角形是______；
(2)请任选一对进行证明．
18.(本小题8分)
如图，已知▵ABC∼▵A′B′C′.求∠α的大小和A′C′的长．
19.(本小题8分)
如图，D、E、F分别是▵ABC三边的中点．▵DEF与▵ABC相似吗？为什么？
20.(本小题8分)
如图(1)，将一张A4纸折叠两次，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合.如图(2)，将一张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得到两张A5纸．
(1) A4纸较长边与较短边的比为 ．
(2) A4纸与A5纸是否为相似形?请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB、GD．
(1)求证：EB=GD;
(2)若∠DAB=60∘，AB=2，AG= 3，求GD的长．
22.(本小题8分)
如图是两个相似的四边形，根据已知数据，求x，y，α．
23.(本小题8分)
如图，已知菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠A=∠A′=110°，那么这两个菱形是相似的菱形吗？为什么？
24.(本小题8分)
如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是BC边上的高，BC=40 cm，AD=30 cm.从这张硬纸片上剪下一个长(HG)是宽(HE)的2倍的矩形纸片EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
(1)求证：AMAD=HGBC；
(2)求矩形EFGH的周长．
25.(本小题8分)
如图，An系列矩形纸张的规格特征是 ①各矩形纸张都相似; ②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，⋯⋯，An纸对裁后可以得到两张An+1纸.
(1)填空：A1纸的面积是A2纸的面积的 倍，A2纸的周长是A4纸的周长的 倍;
(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比;
(3)设A1纸的质量为a克，试求出A8纸的质量.(用含a的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2.【答案】A
【解析】解：设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴2ab=ba，
∴大矩形与小矩形的相似比是 2：1；
故选A．
设原矩形的长为2a，宽为b，表示出对折后的矩形的宽为a，然后根据相似多边形对应边成比例列出比例式，即可得出大矩形与小矩形的相似比．
本题考查的是相似多边形的性质、矩形的性质，掌握相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质，属于基础题，难度一般．
根据题意易得FE=1，设AD=x，则FD=x−1，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【解答】
解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x−1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD=ADAB，
1x−1=x1，
解得x1=1+ 52，x2=1− 52(负值舍去)，
经检验x=1+ 52是原方程的解．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了相似图形的判定，熟记判定方法是解题的关键．
根据相似图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：相似形形状相同、大小不一定相同;则A错误
图形的放缩运动可以得到相似形；则B正确;
对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似形； 则C错误;
全等形是相似形的特例；则D错误;
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE=12AD，
∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，
∴AECD=ABAD，
∴12ADCD=CDAD，
∴12AD2=CD2，
∴AD2=2CD2，
∴AD：CD= 2：1，
故选：C．
根据矩形的性质可得AB=CD，再根据线段的中点定义可得AE=12AD，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是将相似比进行转换.首先将2：3转化为10：15，将5：4转化为15：12，然后求得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2：3，即相似比为10：15；
四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5：4，即相似比为15：12；
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2且相似比为10：12，也就是5：6．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：设另一个多边形的最短边长为x，
∵两个相似多边形的相似比为5：3，已知一个多边形的最短边长为15，
∴x15=53或x15=35，
解得x=25或x=9．
故选：D．
根据相似多边形的对应边之比等于相似之比进行求解即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边之比等于相似比是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边相等的两三角形相似．利用相似图形的定义逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】
解：A.含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的，正确，故不符合题意；
B.所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，所以不一定相似，故错误，符合题意；
C.所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；
D.所有的等边三角形都相似，正确，故不符合题意．
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形相似，
∵菱形四条边均相等，边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个菱形相似．
故选：A．
利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
本题考查了相似图形的判定，解题关键是正确掌握相似图形的判定方法．
10.【答案】B
【解析】解：∵相似三角形的对应角相等，
∴∠ADE=60°．
∴AD=2DE=2，∴AC=4．
在Rt△ADE中，
AE= AD2−DE2
= 22−12= 3．
又BCDE=ACAE，即BC1=4 3，
∴BC=4 3=4 33．
故选B．
11.【答案】C
【解析】解：∵内外两个矩形相似，
∴
=
，
整理得：
=
，
故选：C．
根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可判断．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】∵两个五边形相似，
∴2a=3b=c6=d9=57.5，
∴a=3，b=4.5，c=4，d=6.故选D．
13.【答案】8cm×7cm
【解析】【分析】
此题考查了比例线段，用到的知识点是相似图形的性质，关键是根据已知条件求出教科书上的字与黑板上的字的相似比．
设老师在黑板上要写的字大小为(0.4x )cm⋅(0.35x)cm，利用相似三角形的性质得0.4x⋅0.35x0.4×0.35=(60030)2，然后解方程即可．
【解答】
解：设老师在黑板上要写的字大小为(0.4x )cm⋅(0.35x)cm时，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书上的字的感觉相同，
根据题意得：0.4x⋅0.35x0.4×0.35=(60030)2，
解得：x=20，
则0.4x=8，0.35x=7
即老师在黑板上要写8cm×7cm的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书上的字的感觉相同，
故答案为：8cm×7cm．
14.【答案】6
【解析】解：设另一个六边形的最短边的长为x，
根据题意得x3=663+4+5+6+7+8，
解得x=6，
即另一个六边形的最短边的长为6．
故答案为6．
设另一个六边形的最短边的长为x，根据相似多边形的性质得x3=663+4+5+6+7+8，然后解关于x的方程即可．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．
15.【答案】16 2
【解析】解：设AE=x，则AD=2AE=2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，
∴AEAB=ABAD，即x4=42x，
解得，x=2 2，
∴AD=2x=4 2，
∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD=4×4 2=16 2，
故答案为：16 2．
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．
16.【答案】1.5或9
【解析】解：当20−220=30−2x30时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，
解得，x=1.5，
当20−230−2x=3020时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，
解得，x=9，
故答案为：1.5或9．
根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
17.【答案】(1)与 ▵ACD 相似的三角形有 △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE ，
故答案为： △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE (写出一个即可)．
(2) ▵AOE∽▵ACD
证明：∵ ▵ABC 的高 AD ， BE 相交于点O，
∴ ∠AEO=∠ADC=90∘ ．
∵ ∠OAE=∠CAD ，
∴ ▵AOE∽▵ACD ．


【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
(1)由于 ▵ACD 是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与 ▵ACD 相似的三角形；
(2)可选择 △AOE 与 ▵ACD ，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可．
18.【答案】解：因为▵ABC∼▵A′B′C′，
所以它们的对应角相等，对应边成比例．
由此，得∠α=∠A=60∘，ABA′B′=ACA′C′，
∴A′C′=AC⋅A′B′AB=10×68=7.5．

【解析】见答案
19.【答案】解：由三角形中位线的性质，知
EF//BC，DE//AB，DF//AC；EF=12BC，DE=12AB，DF=12AC．
于是，在▱AFDE、▱BDEF、▱CEFD中，
∠EDF=∠A，∠DEF=∠B，∠DFE=∠C．
又因为EFBC=DEAB=DFAC=12，
所以△DEF∽△ABC．

【解析】判定两个三角形相似，需要知道它们的各角分别相等，各边成比例．
20.【答案】【小题1】
2:1
【小题2】
A4纸与A5纸是相似形.理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为 2:1，∴设A4纸较短边的长为a，则较长边的长为 2a.∵由题图(2)可知，A5纸的较长边与A4纸的较短边相等，较短边等于A4纸的较长边的一半，∴A5纸的较长边为a，较短边为 22a，∴A4纸的较长边与A5纸的较长边之比为 2aa= 2，A4纸的较短边与A5纸的较短边之比为a 22a= 2，∴A4纸较长边A5纸较长边=A4纸较短边A5纸较短边.又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似．

【解析】1. 如图，由折叠过程可知，第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为其对角线，由勾股定理可得BC= 2AB;第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合，∴较长边为 2AB，∴A4纸较长边与较短边的比为 2:1．
2. 见答案
21.【答案】(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD.
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，即∠EAB=∠GAD.
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD．
∴EB=GD．
(2)解：连接BD，交AC于点P，则BP⊥AC．
∵∠DAB=60∘，
∴∠PAB=30∘．
∴BP=12AB= 1．
∴AP= AB2−BP2= 3．
∵AE=AG= 3，
∴EP=2 3．
∴EB= EP2+BP2= 12+1= 13．
∴GD=EB= 13．

【解析】见答案
22.【答案】解：因为四边形的内角和等于360°，
所以∠C=360°−30°−120°−130°=80°，
所以α=80°．
因为AB和GH是对应边，
所以两个相似四边形的相似比是5︰8，
BC的对应边为HE．
所以BCHE=58，即4x=58，
解得x=6.4．
因为AD和GF是对应边，
所以6y=58，
解得y=9.6．
【解析】根据相似多边形的性质得到∠G=∠A=30°，
=
=
，然后利用四边形的内角和求∠α，利用比例的性质求x、y的值．本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
23.【答案】解：相似．
∵∠A=∠A′，∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′．
∵AB=BC=CD=AD，A′B′=B′C′=C′D′=A′D′．
∴AB︰A′B′=BC︰B′C′=CD︰C′D′=AD︰A′D′．
∴菱形ABCD和菱形A′B′C′D′相似．

【解析】见答案
24.【答案】解：(1)证明∵四边形EFGH为矩形，
∴EF // GH，∠AHG=∠ABC．
又∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC．
∴AMAD=HGBC．
(2)解由(1)，知AMAD=HGBC．
设HE=x cm，
则HG=2x cm，AM=AD−DM=AD−HE=(30−x)cm．
可得30−x30=2x40，解得x=12，
则2x=24.所以矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm)．

【解析】见答案
25.【答案】解：(1)2；2
(2)设A1纸的长和宽分别是m，n(m>0,n>0)，则A2纸的长和宽分别为n，12m，
∴mn=n12m，即mn= 2，
即该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为 2:1．
(3)∵A1纸的质量为a克，A2纸的面积是A1纸的面积的一半，
∴A2纸的质量为12a克，
同理，A3纸的质量是14a=(12)2a克，
⋯⋯
∴An纸的质量是(12)n−1a克，
∴A8纸的质量是(12)7a克．
【解析】见答案．A1
A2
A3
⋯
a
b
a−2y
b−2x
x
y
b
a
x
4
y
6
8
5