数学九年级下册6.6 图形的位似精品综合训练题

这是一份数学九年级下册6.6 图形的位似精品综合训练题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是
( )
A. −12aB. −12(a+1)C. −12(a−1)D. −12(a+3)
2.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AC：DF的值为( )
A. 2：3
B. 2：5
C. 4：9
D. 4：13
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(6,0)，B(0,8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的相似比为k的△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A. (0,0)，2B. (2,2)，12C. (2,2)，2D. (1,1)，12
4.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为( )
A. (8,6)B. (9,6)C. 912,6D. (10,6)
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点M(−4,2)，N(−1,−1).以原点O为位似中心，把△MON扩大到原来的2倍，则点N的对应点的坐标为( )
A. (−2,−2)
B. (2,2)
C. (−2,−2)或(2,2)
D. (−2,2)或(2,−2)
6.如图，在△ABC中，点A的坐标为(3,6)，以原点O为位似中心，将△ABC位似缩小后得到△A′B′C′.若点A′的坐标为(1,2)，△A′B′C′的面积为1，则△ABC的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
7.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，属于四边形ABCD的位似图形的是( )
A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR
8.在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘.以点A为位似中心，把△ABC放大2倍后得△AB′C′，则∠B′等于( )
A. 72∘B. 54∘C. 36∘D. 144∘
9.如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是( )
A. (0,0)
B. (2,1)
C. (4,2)
D. (5,0)
10.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD=2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为( )
A. 12B. 18C. 20D. 50
11.如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为(1,t)，AB/​/x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，A′B′AB=k.已知关于x，y的二元一次方程mnx+y=3n+13x+y=4(m,n是实数)无解，在以m，n为坐标，记为(m,n)的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k⋅t的值等于( )
A. 34B. 1C. 43D. 32
12.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若S△ABC：S△DEF=1：4，则OAOD的值为( )
A. 12
B. 22
C. 33
D. 25
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△A′B′C是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点A(2,0)，B(2,4)，C在A′B′，则C′点坐标为______ ．
14.如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′.设点B的对应点B′的坐标是(4,−2)，则点B的坐标是______．
15.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0)，O(0,0)，B(8,−6)，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的12，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为______．
16.如图，A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1:3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,2)．
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．
19.(本小题8分)
如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A(−1,0)在x轴上．
(1)以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2:1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧;
(2)分别写出B1、C1的坐标．
20.(本小题8分)
如图，在直角坐标系xOy中，点A(1,2)，点B(2,1).以O为位似中心，仅用一把无刻度的直尺作出一个与△OAB位似比为32的△OA′B′，并写出点A，B的对应点A′，B′的坐标．
21.(本小题8分)
如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,−1)、(2,1)．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)B点的对应点B′的坐标是______；C点的对应点C′的坐标是______
(3)在BC上有一点P(x,y)，按(1的方式得到的对应点P′的坐标是______．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．
(1)ΔABC外接圆的圆心坐标为 ，外接圆⊙P的半径是 ．
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12得到ΔA1B1C1，请在y轴左侧画出ΔA1B1C1；点P(a，b)为ΔABC内的一点，则点P在ΔA1B1C1内部的对应点P1的坐标为 ．
23.(本小题8分)
如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为(3,−1)，(2,1)．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OAB放大到原图的2倍，画出对应的△OA′B′，并写出点A的对应点A′的坐标；
(2)直接写出△OA′B′的面积 ．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P′Q′M′N′是正方形，点Q′，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，NM上BC于点M，NP上MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
(1)求证：四边形PQMN为正方形；
(2)若∠A=90°，AC=1.5m，△ABC的面积=1.5m2.求PN的长．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
(1)在图中标出点E，且点E的坐标为____；
(2)点P(a,b)是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为(a−6,b+2)，请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为____，C2的坐标为____；
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为____．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：假设将点C平移到原点，则此时点B′的横坐标为a+1，
则点B的横坐标为−12(a+1)，
故原来的点B的横坐标为−12(a+1)−1，
即−12(a+3)．
2.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC～△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(ACDF)2=49，
∴AC：DF=2：3，
故选：A．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质即可求得△ABC的面积：△DEF面积=4：9，得到AC：DF=2：3．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
3.【答案】B
【解析】如图所示，位似中心F的坐标为(2,2)，k的值为DFFO=12.故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴BC EF = OB EO = 1 3，
∵BC=2，
∴EF=BE=6，
∵BC/​/EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴1 3 = BO BO+6，
解得：OB=3，
∴EO=9，
∴F点坐标为：(9,6)，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：∵以原点O为位似中心，把△MON扩大到原来的2倍，
∴点N(−1,−1)的对应点的坐标为(2,2)或(−2,−2)．
故选：C．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，然后N点的横纵坐标都乘以−2或2即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A(3,6)，A′(1,2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比等于：3：1．
∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为9：1．
∵△A′B′C′的面积为1，
∴△ABC的面积为9．
故选：D．
利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】C
【解析】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G(4,2)，
则点G为所求的位似中心，
故选：C．
分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G(4,2)，即可得到答案．
本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题．
先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴ACDF=OAOD=OAOA+AD，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD=2：3，
∴ACDF=OAOA+AD=25，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF=AC：DF=2：5，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为20．
故选：C．
11.【答案】D
【解析】解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，A′B′AB=k，顶点A的坐标为(1,t)，
∴点A′的坐标为(k,kt)，
∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，
∴矩形A′B′C′D′也关于点O成中心对称．
∵关于x，y的二元一次方程mnx+y=3n+13x+y=4(m,n是实数)无解，
∴mn=3，且n≠1，
即n=3m(m≠2)，
∵以m，n为坐标(记为(m,n)的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴反比例函数n=3m的图象只经过点A′或C′，
∵矩形A′B′C′D′关于点O成中心对称，反比例函数n=3m的图象关于点O成中心对称，
∴反比例函数n=3m的图象经过C′点，
如果反比例函数n=3m的图象不经过C′点，
则以m，n为坐标(记为(m,n))的所有的点中，如果有点落在矩形A′B′C′D′的边上，
则至少有两个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴A′点的坐标是(2,32)，
∴k⋅t=32．
故选：D．
首先求出点A′的坐标为(k,kt)，再根据关于x，y的二元一次方程mnx+y=3n+13x+y=4(m,n是实数)无解，可得mn=3，且n≠32；然后根据以m，n为坐标(记为(m,n))的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n=3m的图象只经过点A′或C′；最后判断出反比例函数n=3m的图象经过C′点，则A′点的坐标是(2,32)，所以k⋅t=32，据此解答即可．
本题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握．
12.【答案】A
【解析】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，
∴△ABC∽△DEF，OAOD=ABDE，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=14，
∴ABDE=12，
∴OAOD=12．
故选：A．
先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，OAOD=ABDE，然后根据相似三角形的性质得到ABDE=12，从而得到OAOD的值．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，位似比等于相似比．
13.【答案】(8,4)
【解析】解：∵等腰直角△A′B′C是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，
而点A(2,0)，B(2,4)，
∴A′(4,0)，B′(4,8)，
∴AA′=4−2=2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAA′=45°，
∴A′C=AA′=2，
∴C(4,2)，
∴C′(8,4)．
故答案为：(8,4)．
先把A点和B点的横纵坐标都乘以2得到A′(4,0)，B′(4,8)，则AA′=2，接着证明A′C=AA′=2，所以C(4,2)，然后把C点的横纵坐标都乘以2得到点C′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了等腰直角三角形的性质．
14.【答案】(−2,1)
【解析】解：∵以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′，点B′的坐标是(4,−2)，
∴点B的坐标是(4×(−12),−2×(−12))，即(−2,1)，
故答案为：(−2,1)．
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
15.【答案】52或152
【解析】【分析】
本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，在Rt△AOB中，OB= 62+82=10，
①当△A′OB′在第四象限时，MM′=52．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=52+5=152，
故答案为52或152．
16.【答案】略
【解析】见答案
17.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，
则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
(2)由题意知：位似中心是原点，
所以A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，
连接各点，得△A2B2C2．
如图所示△A2B2C2为所求，

【解析】(1)将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
(2)在△ABC同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
18.【答案】解：(1)△A1BC1即为所求；
(2)△A2B2C2即为所求，C2的坐标为(−6,4)．

【解析】本题考查作图−位似变换、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的性质，是中考常考题型．
(1)作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；
(2)作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．
19.【答案】解：(1)所画图形如下所示：
(2)B1、C1的坐标分别为：(4,−4)，(6,−2)．
【解析】本题考查了画位似图形及画三角形的知识.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
(1)连接OA并延长，使OA1=2OA，同法得到其余各点，顺次连接即可；
(2)根据所得图形及网格图即可得出答案．
20.【答案】解：如图，△OA′B′即为所求．
A′(1.5,3)，B′(3,1.5)．
【解析】延长OA交网格线于点A′(纵坐标为3)，延长OB交网格线于点B′(横坐标为3)，连接A′B′，△OA′B′即为所求．
本题考查作图−位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)如图，△OB′C′为所作；
(2)(−6,2)；(−4,−2)；
(3)(−2x,−2y)．
【解析】【分析】
本题考查了作图−位似变换：利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系先写出对应的坐标，然后描点画图．
(1)把B、C点的横纵坐标都乘以−2得到B′、C′点的坐标，然后描点即可；
(2)根据(1)即可得出结论；
(3)把P点的横纵坐标都乘以−2得到P′点的坐标．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)B点的对应点B′的坐标是(−6,2)；C点的对应点C′的坐标是(−4,−2)；
(3)在BC上有一点P(x,y)，按(1)的方式得到的对应点P’的坐标为(−2x,−2y)．
故答案为：(−6,2)，(−4,−2)；(−2x,−2y)．
22.【答案】(1)(0,−2)，2 5；
(2)−12a,−12b．
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆和三角形的位似，根据图形找出圆心以及作出位似图形是解题的关键
(1)先根据三角形垂直平分线的交点确定圆心的位置，然后根据勾股定理求出AP的长度再确定外接圆的圆心坐标即可；
(2)根据位似图形的作法，以点O为位似中心分别找出A、B、C三点的对称点，然后连接各位似点即可得到位似图形，以及变换后的对应点的坐标．
【详解】
解：(1)外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作AB和BC的垂直平分线相交于点P如下图所示：
根据勾股定理可得⊙P的半径为：
AP= 22+42= 20=2 5，
∴P(0,−2)，⊙P的半径是2 5；
(2)作图如下图所示：
根据位似中心和位似比可得：点P(a,b)的对应点P1的坐标为−12a,−12b．
故答案为：−12a,−12b．
23.【答案】解：(1)作△OA′B′如图所示；
；
则点A′的坐标为(−6,2)；
(2)由题意得：SΔOA′B′=6×4−12×6×2−12×4×2−12×4×2
=24−6−4−4
=10．
【解析】本题主要考查的是作图——位似变换，位似变换中的坐标变化，三角形的面积等有关知识．
(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接可得△OA′B′，然后写出A′点的坐标；
(2)根据△OA′B′的面积等于长方形的面积减去周围3个直角三角形的面积进行求解即可．
24.【答案】(1)证明：∵NM上BC，NP上MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P′Q′M′N′是正方形，
∴PN//P′N′，
∴P′N′PN=BN′BN，
∵MN//M′N′，
∴M′N′MN=BN′BN，
∴P′N′PN=M′N′MN，
而P′N′=M′N′，
∴PN=MN，
∴四边形PQMN为正方形；
(2)解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积=1.5，
∴12AB⋅AC=1.5，
∴AB=2，
∴BC= 22+1．52=2.5，
∵12BC⋅AD=1.5，
∴AD=2×，
设PN=x，则PQ=DE=x，AE=65−x，
∵PN/​/BC，
∴△APN∽△ABC，
∴AEAD=PNBC，即65−x65=x2.5，解得x=3037，
即PN的长为3037m.
【解析】(1)易得四边形PQMN为矩形，再利用平行线分线段成比例得到P′N′PN=BN′BN=M′N′MN，加上P′N′=M′N′，所以PN=MN，从而可判断四边形PQMN为正方形；
(2)解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，利用三角形面积公式先计算出AB=2，再利用勾股定理计算出BC=2.5，接着利用面积法求出AD=65，设PN=x，则PQ=DE=x，AE=65−x，证明△APN∽△ABC，然后利用相似比得到65−x65=x2.5，最后利用相似比求出x即可．
本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．也考查了相似三角形的判定与性质．
25.【答案】解：(1)如图，线段BB1的中点即为点E，
(0,−1)；
(2)(−3,4)，(−2,2)；
(3)(−3,0)．
【解析】【分析】
本题主要考查了中心对称、平移变换及位似变换的性质．
中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，连接各组对应点的线段平行且相等．
位似图形的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
(1)根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
(2)将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
(3)根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
【解答】
解：(1)如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B(1,1)，B1(−1,−3)
∴E(0,−1)；
(2)如图，
∵点P(a,b)是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为(a−6,b+2)，
又∵A(3,2)，C(4,0)，
∴A2(−3,4)，C2(−2,2)；
(3)∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点(−3,0)，
∴F(−3,0)．
故答案为(1)(0,−1)；(2)(−3,4)，(−2,2)；(3)(−3,0)．