广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月测（12月）数学试卷（解析版）

这是一份广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月测（12月）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义直接求解即可
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C
2. 函数的所有零点的 构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按和，分别计算出当时，所对应的的值，得到答案.
【详解】当时，，得到，
当时，，得到，
所以函数的所有零点构成的集合为.
故选.
【点睛】本题考查求分段函数的零点，属于简单题.
3. 已知对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)，且过点(9，2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )
A. g(x)＝4xB. g(x)＝2x
C. g(x)＝9xD. g(x)＝3x
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【详解】由题意，可知，则，所以，则反函数，故选D．
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解绝对值不等式求出，从而得到，，得到答案.
【详解】，解得，
因为，，所以是的必要不充分条件.
故选：B
5. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：A.
6. 函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.
【详解】,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当趋近于，则趋近于0，则趋近于，
又在趋于时增速远比快，故趋近于0，
故当趋近于时，趋近于0，故排除D;
故选：B.
7. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但不与该直线相交，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
分析】根据题意得到，，从而求出，.
【详解】由题意得，即，
时，，故，
故，解得.
故选：A
8. 某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A. y是x的函数B. w是y的函数
C. w是z的函数D. w是x的函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案.
详解】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；
对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误；
故选：B.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据的单调性比较大小；B选项，变形后利用的单调性比较大小；C选项，平方比较出，从而得到；D选项，根据，得到，D正确.
【详解】A选项，因为在R上单调递减，，
所以，A正确；
B选项，，
又在上单调递增，故，B正确；
C选项，，
又，故，，
所以，又，两边开方得，
故，C错误；
D选项，因为，所以，即，D正确.
故选：ABD
10. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. 为上的增函数
C. 的解集为D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】由奇函数的性质求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断B，由及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C，首先求出，即得到的取值范围，即可求出的值域，从而判断D.
【详解】解：因为函数为奇函数，
所以，即，解得，
此时，则，符合题意，
故，即A正确；
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，
所以在定义域上单调递减，故B错误；
由，即，所以，即，即，解得，
所以不等式的解集为，故C正确；
因为，所以，所以，即的值域为，故D错误；
故选：AC
11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．令，以下结论正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】结合高斯函数的定义、函数的奇偶性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，，所以不是偶函数，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，，当时，，当时，，
所以的值域为，D选项错误.
故选：AC
12. 如果一个函数在其定义区间内对任意a、b都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数中是下凸函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】定义域内任取，先求出解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断它们的大小关系，再根据“下凸函数”的定义，得出结论．
【详解】对于A，由已知，若满足下凸函数，
则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，
反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，
由图象可知，此函数满足下凸函数定义，故A正确；

对于B，，由图象可知，此函数满足下凸函数定义，故B正确；

对于C，对于函数，定义域内任取，
有
∴下凸函数，故C正确；
对于D，,由图象可知，此函数不满足下凸函数定义.

故D错误；
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题.每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则满足：，解得：
所以函数的定义域为
故答案为：
14. 若，则的最小值为______；
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式求出最小值.
【详解】因为，故，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
15. 已知函数，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
16. 计算__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分数指数幂和对数运算法则计算即可.
【详解】
.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，已知是偶函数，

（1）将上图补充完整；
（2）写出的单调区间.
【答案】（1）作图见解析
（2）单调递增区间为，，，的单调递减区间为，，
【解析】
【分析】（1）由偶函数的图象关于轴对称，可补全的图象．
（2）由的图象直接写出的单调区间即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
的单调递增区间为，，
的单调递减区间为，，
18. 已知函数，，
（1）写出的单调性，并用定义证明；
（2）求的最值.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析
（2）最大值为1，最小值为.
【解析】
【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义证明即可；
（2）根据函数的单调性即可求出最值.
【小问1详解】
在上单调递减.
证明：，且，
，
，且，，，，
，即，
在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递减.
，
的最大值为1，最小值为.
19. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，

（1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
【答案】（1）220，阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km
（2）
【解析】
【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系，结合面积公式，可得答案；
（2）根据速度、时间、路程之间的关系，结合分段函数的定义，可得答案.
【小问1详解】
由已知中的图象可得，阴影部分的面积为.
由图象表示辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系故图象的面积表示汽车行驶的路程，
阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km.
【小问2详解】
根据图示，三个小时内的速度分别为50，80，90，
故有.
20. 已知函数.
（1）当为何值时,为偶函数,说明理由;
（2）若,证明:;
（3）若,求证:有两个不相等的实数根.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据偶函数定义求解即可;
（2）当时,利用配方法求解即可;
（3）根据求出的范围,再利用判别式证明即可.
【小问1详解】
当时,为偶函数.
理由如下:
因为为偶函数,所以,
即,
所以,
因为,
所以.
【小问2详解】
当时,
,
即.
【小问3详解】
因为,所以,
即,
则,
因为,
所以,,
则,
所以有两个不相等的实数根.
21. 已知为定义在区间上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性.
【答案】（1）
（2）作图见解析，单调增区间是，单调减区间是
【解析】
【分析】（1）按偶函数的定义即可求解；
（2）按偶函数的对称性即可作图，再由图得单调性.
详解】（1）设，则，
由已知，
又为定义在区间上的偶函数，得，所以.
（2）由（1）可得函数图象如图所示.
所以的单调增区间是，单调减区间是
22. 已知函数．
（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明．
【答案】（1）
（2）
（3）函数F（x）是奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据指数对数相互转化即可求解；（2）根据对数函数的性质以及定义域和单调性即可求解；（3）根据函数的奇偶性的证法即可求解.
【小问1详解】
由，，得，，
所以．
【小问2详解】
由题得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以不等的解集为．
【小问3详解】
是奇函数，
由题得，
所以x1，
所以F（x）的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数F（x）是奇函数．