高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时学案

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我国古代数学著作《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”，这些数字构成了怎样的一个数列呢？就让我们通过今天的学习来解决这个问题吧！
知识点1 等比数列的概念
等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
知识点2 等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
(1)只有同号的两个实数才有等比中项．
(2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
知识点3 等比数列的通项公式
(1)通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1．
(2)等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y＝a1q·qx的图象上的孤立点．
已知等比数列的首项和公比，可以求得任意一项．已知a1，n，q，an四个量中的三个，可以求得第四个量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )
(3)常数列一定为等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
2．2＋3和2－3的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
C [设2＋3和2－3的等比中项为a，
则a2＝(2＋3)(2－3)＝1，即a＝±1．]
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
8 [由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．
又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]
类型1 等比数列通项公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[解] 设首项为a1，公比为q．
(1)因为a4=a1q3，a7=a1q6，所以a1q3=2，①a1q6=8．②
由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，
于是a1＝2q3＝12，
所以an＝a1qn-1＝22n-53
(2)法一：因为a2+a5=a1q+a1q4=18，③a3+a6=a1q2+a1q5=9．④
由④③得q＝12，q＝－1(舍去)，从而a1＝32，
又an＝1，∴32×12n-1＝1．
即26-n＝20，所以n＝6．
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn-1＝1，知n＝6．
关于a1和q的求法的两种方法
(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知{an}为等比数列，填写下表．
[解]
类型2 等比中项及应用
【例2】 (1)若三个数1，2，m成等比数列，则实数m＝( )
A．8 B．4
C．3 D．2
(2)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则ab的值为( )
A．±12 B．12
C．1 D．±1
(3)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，a1，a3，a6成等比数列，则a5＝( )
A．54 B．74
C．2 D．3
(1)B (2)D (3)C [(1)因为1，2，m为等比数列，故21＝m2，即m＝4．
(2)因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，所以a＝1+32＝2，b＝±1×4＝±2，所以ab的值为±1．
(3)设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
由a1，a3，a6成等比数列，得a32＝a1·a6，
即(1＋2d)2＝1＋5d，整理得4d2－d＝0，又d≠0，解得d＝14，所以a5＝a1＋4d＝2．]
等比中项应用需注意的问题
(1)由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为( )
A．10 B．8
C．6 D．－8
(2)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，则实数x的值为________．
(1)A (2)－4 [(1)由题意可得a32＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋10×10-12×2＝10．
(2)根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．]
类型3 等比数列的判断与证明
【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列．
[思路引导] 利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
当n≥2时，an+1an＝2n2n-1＝2；
当n＝1时，an+1an＝a2a1＝22+a．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以an+1-n+1an-n＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝12an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝12an知an≠0，
∴an+1an＝12，
∴{an}是首项为1，公比为12的等比数列．
有关等比数列的判断证明方法
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．证明：数列{an＋4}是等比数列．
[证明] ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴an+1+4an+4＝2，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是( )
A．an＝n B．an＝n
C．an＝2－n D．an＝lg2n
C [只有C具备an＝cqn的形式，故应选C．]
2．(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q可能为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
AC [由题意，
得a1q2+a1q3=4，a1q=2，
解得a1=2，q=1或a1=-1，q=-2．]
3．1与9的等比中项为________．
±3 [1与9的等比中项为±1×9＝±3．]
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
4n-1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示] ①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．
(2)任何两个实数都有等比中项吗？
[提示] 不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．
(3)如何判断一个数列为等比数列？
[提示]
课时分层作业(七) 等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．下列数列是等比数列的是( )
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．13，16，19，112，115
D．4，－8，16，－32，64
D [A，B，C均不满足定义中an+1an＝q，只有D满足an+1an＝－2．]
2．已知数列{an}是等比数列，a6＝4，a3＝12，则公比q＝( )
A．－12 B．－2
C．2 D．12
C [因为a6＝a3·q3，所以4＝12·q3，所以q＝2．]
3．实数－1，x，y，t，－4等比数列，则xyt等于( )
A．－4 B．1
C．8 D．－8
D [设a1＝－1，a2＝x，a3＝y，a4＝t，a5＝－4，
由等比数列知xt＝a2a4＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，
y2＝a32＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，因为y＜0，所以y＝－2，
所以xyt＝4×(－2)＝－8，故选D．]
4．(多选)下列四种说法中正确的有( )
A．等比数列的所有项都不可以为0
B．等比数列的公比取值范围是R
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若一个常数列是等比数列，则其公比是1
AD [从第二项起，每一项与前一项之比均为同一非零常数的数列，称为等比数列，所以等比数列任一项不能为0，且公比也不为0，故A正确，B错误；若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故C错误；若一个常数列是等比数列，则an＝an＋1≠0，所以q＝1，故D正确．]
5．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为( )
A．34 B．－15
C．56 D．1
C [设等差数列的公差为d(d≠0)，则a3＝1＋2d，a7＝1＋6d，a16＝1＋15d，由条件可知(1＋2d)(1＋15d)＝(1＋6d)2，解得d＝56或d＝0(舍去)，故选C．]
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．
±4 [a4＝a1q3＝18×23＝1，
a8＝a1q7＝18×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±16＝±4．]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
3×2n-3 [由已知得a10a3＝a1q9a1q2＝q7＝128＝27，故q＝2．
所以an＝a1qn-1＝a1q2·qn-3＝a3·qn-3＝3×2n-3．]
8．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27，81 [设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3．
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝827．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解] (1)因为2an＝3an＋1，
所以an+1an＝23，数列{an}是公比为23的等比数列，
又a2·a5＝827，
所以a12235＝233，由于各项均为负，
故a1＝－32，an＝－23n-2(n∈N*)．
(2)设an＝－1681，则－1681＝－23n-2，23n-2＝234，n＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．
10．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
A．{lg an} B．{1＋an}
C．1an D．{an}
C [因为数列{an}是等比数列，所以an＝a1qn-1，
对于A，lgan+1lgan＝lga1+nlgqlga1+n-1lgq不一定是常数，故A不一定是等比数列；
对于B，{1＋an}可能有的项为零，故B不一定是等比数列；
对于C，利用等比数列的定义，可知1an的公比是数列{an}公比的倒数，故C项一定是等比数列；
对于D，当q<0时，数列{an}存在负项，此时an无意义，故D项不符合题意．故选C．]
11．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为( )
A．－12 B．－2
C．1 D．－1
AC [由题意知2a3＝a1＋a2，∴2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1或－12，故选AC．]
12．设a＞0，b＞0，若5是5a与5b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D．14
B [因为5是5a与5b的等比中项，
则52＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以1a＋1b＝1a +1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4．]
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
23 －1 [∵a2，a3，a7成等比数列，∴a32＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0．①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．②
由①②解得a1＝23，d＝－1．]
14．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0(n∈N*)．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意，得a2＝12，a3＝14．
(2)由an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，
所以an＋1≠0，所以an+1an＝12．
故{an}是首项为1，公比为12的等比数列．
因此an＝12n-1(n∈N*)．
15．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式．
[解] 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，
联立a1+2d=5，2a1+5d=6a1d，
解得a1=1，d=2或a1=256 ，d=512(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1．
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为 a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立a1d=2，2a1+5d=3a1d2，
解得a1=1，d=2或a1=-1，d=-2(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1．
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，
联立3a1+3d=9，2a1+7d=8a1d，
解得a1=1，d=2或a1=218 ，d=38(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1．学习
任务
1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象)
2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)
3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象)
4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模)
文字语言
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言
an+1an＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
序号
a1
q
n
an
(1)
3
－2
5
(2)
12
4
116
(3)
－2
4
－32
(4)
3
5
48
(5)
3
2
24
序号
a1
q
n
an
(1)
3
－2
5
48
(2)
12
12
4
116
(3)
－2
316
4
－32
(4)
3
2或－2
5
48
(5)
3
2
4
24
定义法
an+1an＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列
中项公式法
an+12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列
通项公式法
an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列
定义法
an+1an＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列
中项公式法
an+12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列
通项公式法
an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列