高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时学案设计

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在等差数列{an}中，存在很多的性质，如
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则al1，al2，al3，al4，…，aln也成等差数列．
那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？
知识点1 推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
知识点2 “子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
知识点3 等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ak2．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是等比数列吗？其公比是什么？
[提示] 由于anan+1an-1an＝anan-1·an+1an＝q2，n≥2且n∈N*，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [D中，3，6，9为连续3的倍数，所以a3，a6，a9成等比数列．]
2．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是________．
2 [由a6＝a3q3得q3＝648＝8，
∴q＝2．]
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________．
25 [在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝9+10，
∴a7a12＝a8a11＝a9a10．
∴原式＝(a7a12)2＝25．]
类型1 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数分别为aq，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a．
由题意得aq+2aq-a=21a+aq=18，，解得q＝2或q＝35．
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝35时，a＝454，这四个数为754，454，274，94．
法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为a-d2a，因此这四个数为a-d2a，a－d，a，a＋d．
由题意得a-d2a+a+d=21，a-d+a=18，
解得a=12，d=6或a=274，d=-92．
故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94．
法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，
设第二个数为b，则第三个数为18－b，
则这四个数为a，b，18－b，21－a，
由题意得a18-b=b2，b+21-a=218-b，
解得a=3，b=6或a=754，b=454．
故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94．
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三数成等比数列，常设成aq，a，aq或a，aq，aq2．
(2)若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2．若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3．
[跟进训练]
1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为a+d2a，由条件得a-d+a+d2a=16，a+a+d=12，
解得a=4，d=4或a=9，d=-6．所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1．
法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，
设第二个数为b，则第三个数为12－b，
∴这四个数为a，b，12－b，16－a，
由题意得2b=a+12-b，12-b2=b16-a，
解得a=0，b=4或a=15，b=9，
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
类型2 等比数列的性质及应用
【例2】 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3+a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值．
[思路引导] 利用等比数列的性质，整体代换求解．
[解] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32+2a3a5+a52＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．
(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a2…a9a10)＝lg395＝10．
[母题探究]
1．在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，其他条件不变，求an．
[解] 由等比数列的性质得a3a5＝a1a7＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n-3；若a3＝4，a5＝1，则q＝12，an＝25-n．
2．把例2(2)的条件改为“公比q为3，a1a2a3…a30＝3300”，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值．
[解] ∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，∴a1a2a3…a10＝1，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a2…a10)＝lg31＝0．
应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝at2进行求解．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
[解] 法一：依题意，a1＝4，a5＝14，由等比数列的通项公式，得14＝4×q4，解得q＝±12．
当q＝12时，插入的3个数分别为4×12＝2，2×12＝1，1×12＝12；
当q＝－12时，插入的3个数分别为4×-12＝－2，(－2)×-12＝1，1×-12＝－12．
因此，插入的3个数分别为2，1，12或－2，1，－12．
法二：因为等比数列共有5项，即a1，a2，a3，a4，a5，
又因为2×3＝1＋5，所以a32＝a1a5＝4×14＝1，
即a3＝±1．又因为a3要与a1同号，因此a3＝1．
类似地，有a22＝a1a3，a42＝a3a5，而且a2与a4同号．因此当a2＝a1a3＝4×1＝2时，a4＝a3a5＝1×14＝12；
当a2＝－a1a3＝－4×1＝－2时，
a4＝－a3a5＝－1×14＝－12．
因此，插入的3个数分别为2，1，12或－2，1，－12．
类型3 等比数列的实际应用
【例3】 (1)光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，……，F 64．光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
(2)洗衣服时，小兰说“入水三分净”，即换水洗一次能去污30%．问：要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗多少次？( )
A．1 B．3
C．4 D．5
(1)C (2)C [(1)由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{an}，则F 4对应单位时间内的进光量为a5，F 1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的a2a5＝8倍．
(2)洗衣服时，换水洗一次能去污30%，要使污渍不高于原来的30%，设至少要换水洗n次，则a(1－30%)n≥a×30%，∴n≥4，
∴要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗4次，故选C．]
等比数列实际应用
等比数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等比数列的模型，然后用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[跟进训练]
3．(1)某工厂2019年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2027年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )
A．214－1 B．215－1
C．314－1 D．315－1
(2)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为( )
A．55 989 B．46 656
C．216 D．36
(1)A (2)B [(1)设2019年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝214－1，故选A．
(2)设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式：an＝6×6n-1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．]
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝( )
A．4 B．32
C．169 D．2
A [根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列．
∴9a3＝62．∴a3＝4．故选A．]
2．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．52 B．7
C．6 D．42
A [由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝52，故选A．]
3．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，……．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某传染病的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1 000时需要的天数至少为(参考数据：lg 38≈1.58)( )
A．34 B．35
C．36 D．37
D [设第n轮感染人数为an，则数列{an}为等比数列，其中a1＝3.8，公比为R0＝3.8，所以an＝3.8n>1 000，
解得n>lg3.81 000＝3lg3.8＝3lg38-1≈30.58≈5.17，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17×7＝36.19，即需要的天数至少为37天．]
4．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b>0，所以b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？
[提示] 三个数成等比数列时，可设三数为aq，a，aq；四个数成等比数列时只要公比大于零，可设为aq3，aq，aq，aq3．
(2)在等比数列中，常用到的性质有哪些？
[提示] ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，则aman＝ap2．
(3)解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？
[提示] 要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释．
课时分层作业(八) 等比数列的性质及应用
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
A [法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝124．所以a5＝a1·24＝124·24＝1．
法二：由等比数列的性质，知a72＝a3a11＝16．
又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4．
又a7＝a5×q2，则a5＝44＝1．]
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a52，a2＝1，则a1＝( )
A．12 B． 22
C．2 D．2
B [在等比数列中，a3a9＝a62，又a3a9＝2a52，∴a62＝2a52，∴q＝±2，又∵q＞0，∴q＝2．又∵a2＝1，
∴a1＝12＝22．故选B．]
3．(多选)已知数列{an}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8的值可能为( )
A．－36 B．36
C．－362 D．362
CD [设{an}的公比为q，则a9＋a11 ＝q6(a3＋a5)，于是q6＝a9+a11a3+a5＝14418＝8，因此q3＝±22，所以a6＋a8＝q3(a3＋a5)＝±362．]
4．已知单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是( )
A．q＝1 B．q1 D．01，即27-2n>1，得n