高中数学4.2 等差数列第1课时学案

这是一份高中数学4.2 等差数列第1课时学案，共14页。

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题．
1．我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…．
2．某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
3．全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
知识点1 等差数列的概念
等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？
[提示] 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
知识点2 等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是 a＋b＝2A．
知识点3 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列{1－3n}的公差d＝1．( )
(2)所有的等差数列都有通项公式．( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] (1)数列{1－3n}的公差为－3．
(2)由等差数列的定义可知正确．
2．3与5的等差中项为( )
A．2 B．4
C．8 D．15
B [3与5的等差中项为3+52＝4．]
3．(多选)下列数列是等差数列的是( )
A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
AC [根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．]
4．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________．
2n－5 [由题知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5．]
类型1 等差数列的通项公式的有关运算
【例1】 (1)已知a7＝12，d＝－2，求a1；
(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．
[解] (1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝252．
(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1+14d=8，a1+59d=20，解得a1=6415 ，d=415．
故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝20-860-15＝415，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24．
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得15k+b=8，60k+b=20，解得k=415，b=4．
∴a75＝75×415＋4＝24．
求等差数列的通项公式的两种思路
(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．
(2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．
注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
[跟进训练]
1．在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－13，a7＝8，则a1＝________；
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
(3)已知公差为d，a3＝54，a7＝－74，则a15＝________．
(1)10 (2)－12 (3)－314 [(1)由题意，得a1＋6×-13＝8，解得a1＝10．
(2)依题意可得a1+2d=0，a1+6d-2a1+3d=-1，
解得d＝－12．
(3)法一：由a3=54 ，a7=-74得a1+2d=54 ，a1+6d=-74 ，
解得a1=114 ，d=-34，
∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×-34＝－314．
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
得－74＝54＋4d，解得d＝－34．
∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×-34＝－314．]
类型2 等差中项的应用
【例2】 (1)如果3是2a与a－6的等差中项，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
(2)一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x＝________．
(3)已知a＝13+2，b＝13-2，则a，b的等差中项是________．
(1)D (2)2 (3)3 [(1)由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．
(2)由已知得2x=1+a，2a=3x，可得2x＝1＋3x2，
解得x＝2．
(3)因为a＝13+2＝3-2，b＝13-2＝3+2，所以a+b2＝3． ]
等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝x+y2．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．
[跟进训练]
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝-1+72＝3．
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝-1+32＝1．
又c是3与7的等差中项，
∴c＝3+72＝5．
∴该数列为：－1，1，3，5，7．
类型3 等差数列的判定与证明
【例3】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an-1(n>1)，记bn＝1an-2．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导] 先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝1an+1-2－1an-2
＝14-4an-2－1an-2＝an2an-2－1an-2
＝an-22an-2＝12．
又b1＝1a1-2＝12，
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝n2．
∵bn＝1an-2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2．
[母题探究]
本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan+2．”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝2anan+2两边取倒数，可得1an+1＝an+22an，即1an+1＝12＋1an，所以1an+1－1an＝12，因此数列1an是公差为12的等差数列．
因为a1＝2，所以1a1＝12，即数列1an是首项为12，公差为12的等差数列，因此1an＝12＋12(n－1)＝12n，故an＝2n．
等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)已知数列{an}中，an－1＝an+an-22，在n≥3时恒成立，求证：{an}是等差数列．
[证明] 因为an－1＝an+an-22⇔2an－1＝an＋an－2⇔an－an－1＝an－1－an－2，所以an－an－1＝an－1－an－2＝an－2－an－3＝…＝a2－a1．
因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2
ABD [选项A，B，D满足等差数列的定义，是等差数列；选项C中，因为24－25≠23－24，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．]
2．在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝( )
A．6 B．8
C．16 D．32
B [因为等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8．]
3．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是( )
A．该数列为等差数列
B．公差为3
C．a5＝15
D．－3是该数列的第11项
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正确．]
4．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
3 [由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8．
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10．
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6．
所以m和n的等差中项为m+n2＝3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示] 等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．
(2)任何两个数都有等差中项吗？
[提示] 任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为a+b2．
(3)如何判断数列为等差数列？
[提示] 判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b．(d，b为常数)．
课时分层作业(三) 等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A [等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．]
2．已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为( )
A．12 B．1
C．－1 D．－12
C [根据an＝am＋(n－m)d，得d＝a9-a39-3＝3-96＝－1，故d＝－1．故选C．]
3．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cs B的大小为( )
A．32 B．12
C．－12 D．22
B [∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B．
又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，∴cs B＝cs π3＝12．]
4．(多选)等差数列20，17，14，11，…中的负数项有( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
BCD [因为a1＝20，d＝－3，所以an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，所以a7＝2>0，a8＝－1