高中人教A版 (2019)4.2 等差数列第2课时导学案

这是一份高中人教A版 (2019)4.2 等差数列第2课时导学案，共16页。

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
知识点1 等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
1．等差数列的单调性与公差有何关系？
[提示] 若{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递增数列；
d0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
BCD [∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又 ∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，
∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0．]
类型1 等差数列的设法与求解
【例1】 (1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
(2)已知四个数依次成等差数列，且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
[解] (1)设{an}的公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，
解得d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105．
(2)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
因为该数列是递增数列，所以d>0，
所以解得a=±72，d=32，
故此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1．
设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d．
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d．
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q．
[跟进训练]
1．已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数分别为a，b，c，则2b=a+c，a+b+c=18，a2+b2+c2=116，
解得a=4，b=6，c=8．故这三个数分别为4，6，8．
法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2．
∵该数列是递增的，
∴d＝2，
∴这三个数分别为4，6，8．
类型2 等差数列的性质
【例2】 (1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[思路引导] 根据各个题的特征，选择相应等差数列的性质求解．
[解] (1)法一：设{an}的公差为d，
则a1+4d=10，a1+14d=25，解得a1=4，d=32 ，
故a25＝a1＋24d＝4＋24×32＝40．
法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，
所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，
故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母题探究]
(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解] 法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
[跟进训练]
2．(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
(2)设等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9．
①求a3；
②若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式．
(1)20 [3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．]
(2)[解] ①因为等差数列{an}中，满足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＝3．
②设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，
所以3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，
所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3．
类型3 等差数列的实际应用
【例3】 (1)(2022·厦门高二检测)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子，则m＝________．
(2)高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为________．
(1)3 (2)12 [(1)设男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m个橘子，由已知，5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m为正整数，
所以m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13个橘子，则16－m＝13，即m＝3．
(2)设经过n次考试后该学生的成绩为an，
则an＝5(n－1)＋69，由5(n－1)＋69≥120，得n≥565＝11 15，所以至少要经过12次考试．]
等差数列在实际应用中的解法
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35 cm，第5级的宽为43 cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度．
[解] 法一：依题意，a1＝35，a5＝43．
设公差为d，则35＋4d＝43，解得d＝2．
从而a2＝35＋2＝37，
a3＝37＋2＝39，
a4＝39＋2＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
法二：因为等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，共5项．
又因为2×3＝1＋5，所以2a3＝a1＋a5＝35＋43＝78，
即a3＝39．
类似地，有2a2＝a1＋a3＝35＋39＝74，2a4＝a3＋a5＝39＋43＝82，所以a2＝37，a4＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5．]
2．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位) ( )
A．0.9升 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
B [不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得a1+a2+a3=3.9，a6+a7+a8+a9=3，
故a2=1.3，a7+a8=1.5，即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．]
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．
12 [在等差数列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，
∴5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]
4．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是________．
－2，0，2，4 [设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，∴d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等差数列{an}中，任意两项an与am之间的关系是什么？
[提示] 在等差数列{an}中，an－am＝(n－m)d．
(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？
[提示]
课时分层作业(四) 等差数列的性质及应用
一、选择题
1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定
B [等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝5-31-2＝－2＜0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．故选B．]
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为( )
A．3 B．±3 C．－33 D．－3
D [在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，
即3a7＝4π，
∴a7＝4π3，又∵a2＋a12＝2a7．
∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－3．]
3．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7．]
4．(多选)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12>31，则公差d的取值可以为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
BCD [设{an}的首项为a1，由题意，
可知a1+4d=10，a1+11d>31，解得d>3．
所以选项BCD符合．]
5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )
A．6.5尺 B．13.5尺
C．14.5尺 D．15.5尺
D [设冬至的日影长为a1，由题意得a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5⇒a3＝13.5，芒种的日影长为a12＝4.5，
所以a1+2d=13.5，a1+11d=4.5，解得a1＝15.5，d＝－1，
所以冬至的日影长为15.5尺．故选D．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________．
132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．]
7．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，lg2(2a1·2a2·…·2a10) ＝________．
20 [在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝lg22a1+a2+…+a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20．]
8．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则d1d2的值为________．
43 [n－m＝3d1，d1＝13(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝14(n－m)．
∴d1d2＝13n-m14n-m＝43．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中：(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差为d．
[解] 法一：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12．
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，
解a2·a5=52，a2+a5=17，得a2=4，a5=13，或a2=13，a5=4．
∴d＝a5-a25-2＝13-43＝3或d＝a5-a25-2＝4-133＝－3．
法二：(1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12．
(2)直接化成a1和d的方程如下：
a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d=34，a1+d· a1+4d=52，
解得a1=1，d=3或a1=16，d=-3．
∴d＝3或－3．
10．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
C [设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，
∴a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16．]
11．(2021·北京高考)已知{an}和{bn}是两个等差数列，且akbk(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为( )
A．64 B．128
C．256 D．512
B [由题意可得a1b1＝a5b5，则b5＝64，故b3＝b1+b52＝192+642＝128．]
12．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有anbn＝2n+34n-9，则a7b3+b9＋a5b4+b8＝________．
1 [由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以a7b3+b9＋a5b4+b8＝2a62b6＝a6b6＝2×6+34×6-9＝1．]
13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________．
2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．]
14．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
[解] (1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．
设公差为d，则a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，
∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n．
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4．
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴bn＝4＋4(n－1)＝4n．
15．已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4．若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？
[解] an＝a5＋(n－5)d＝4n－16．
在新数列{bn}中，
b1＝a1＝－12，
公差d′＝13d＝43，
∴bn＝－12＋43(n－1)＝43n－403，
∴b50＝1603．
由a50＝184＝43n－403，
得n＝148．
∴a50是新数列的第148项．
学习任务
1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)
2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
性质1
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性质2
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
性质3
若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d
性质4
若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5
若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列
性质6
若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质7
有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
性质8
若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列