高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时学案及答案

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为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？
知识点1 等差数列的前n项和公式及推导
注：等差数列的前n项和的公式是用倒序相加法推导的．
知识点2 等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n-1T2n-1．
(3)若等差数列{an}的项数为2n，则
S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an+1an．
(4)若等差数列{an}的项数为2n－1，则
S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，
S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn-1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( )
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝na2+an-12．( )
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn．( )
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．( )
(5)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)正确．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正确．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
2．(1)在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________．
(2)在等差数列{an}中 ，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝________．
(1)24 (2)3或－1 [(1)∵S10＝10a1+a102＝120，∴a1＋a10＝24．
(2)由题意得a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋nn-12×2＝35，②
由①②解得a1＝3或－1．]
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．]
类型1 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝( )
A．－2 021 B．2 021
C．2 022 D．2 023
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
(1)D (2)BC [(1)设等差数列{an}的公差为d．
∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，
∴6a1＋6×52·d－6a1－2×3×22·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2．
则S2 023＝2 023×(－2 021)＋2 023×2 0222×2＝2 023．故选D．
(2)由a1＋a15＝2a8，a1＋a8＋a15为定值，可得a8是定值，S15＝12×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值，故选BC．]
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．
(2)利用等差数列的性质解题．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)(1)已知等差数列{an}的公差为2，且a20＝29，求这个等差数列前20项的和S20．
(2)求等差数列5，12，19，26，…，201，208的各项之和．
[解] (1)由等差数列的通项公式可得29＝a1＋19×2，由此可解得a1＝－9．因此S20＝20×-9+292＝200．
(2)可以看出，所求数列是公差为7的等差数列．
设共有n项，则208＝5＋(n－1)×7，解得n＝30．因此各项之和为30×5+2082＝3 195．
类型2 等差数列前n项和的性质及应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S88－S66＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n+2n+3，求a5b5的值．
[思路引导] 根据题目的条件，灵活的选择等差数列前n项和的性质解题．
(1)B [∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴Snn也是等差数列且首项为S11＝1．
又S88－S66＝2，
∴Snn的公差是1，
∴S1010＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100．]
(2)[解] 法一：在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．
法二：在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，
所以2S2m2m＝Smm＋S3m3m．
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．
(3)[解] a5b5＝12a1+a912b1+b9＝9a1+a929b1+b92＝S9T9＝7×9+29+3＝6512．
[母题探究]
(变结论)在本例(3)条件不变的情况下，求a5b7．
[解] 设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt．
则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，
b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t．
∴a5b7＝65t16t＝6516．
等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝na1+an2，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用Snn是关于n的一次函数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．71
C．99 D．117
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，其中a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，a2＋a4＋…＋a2n＝3，则n的值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
(1)C (2)A [(1)由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又因为S3＝9，S6＝63，
则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99．
(2)由a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，得(n＋1)an＋1＝4，由a2＋a4＋…＋a2n＝3，得nan＋1＝3，n+1an+1nan+1＝43，解得n＝3．]
类型3 求数列{|an|}的前n项和问题
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[思路引导] 先求出通项an，再确定数列中项的正负，去掉绝对值号，利用Sn求解．
[解] a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤3423．
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an