人教A版高中数学选择性必修第二册第4章章末综合提升课时学案

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类型1　求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知Sn求an若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2求解．(3)累加或累乘法形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如anan-1＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．(4)构造法如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋c}为等比数列，再求解得通项公式．【例1】　(1)已知等比数列{an}为递增数列，且a52＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝(　　)A．2n　　B．2n+1　　C．12n　　D．12n+1(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．(1)A　[法一：由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，而a52＝a10＞0，所以q＞1，an＞0．由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12(舍去)．由a52＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2．因此an＝2n．法二：由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，而a52＝a10＞0，所以an＞0，q＞1．由条件得2anan+1+an+2an+1＝5，即21q+q＝5，解得q＝2．又由a52＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n．](2)[解]　法一：由题意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n-1a1＋3n-2×4＋3n-3×4＋…＋3×4＋4＝3n-1＋41-3n-11-3＝3n-1+2(3n-1-1)＝3n－2．法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2．法三：∵an＋1＝3an＋4， ①∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．∵a2－a1＝3＋4－1＝6，∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2． 类型2　等差、等比数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．【例2】　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．[解]　(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32．设{bn}的公差为d，则有b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=-16，d=12，所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28．所以数列{bn}的前n项和Sn＝n-16+12n-282＝6n2－22n． 类型3　等差、等比数列的判定等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；an+1an＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；an+12＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．【例3】　已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn．[解]　(1)∵bn－an＝n，b1＝2，∴a1＝1，∵an＋1＋1＝2an＋n，∴an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，∴an+1+n+1an+n＝2，即bn+1bn＝2．∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n．(2)由bn－an＝n，得an＝2n－n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝21-2n1-2－n2+n2＝2n+1－2－n2+n2． 类型4　等差、等比数列的性质解决等差、等比数列有关问题的几点注意(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．【例4】　(1)(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)A．a7 B．a8C．S15 D．S16(2)(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，a2 019-1a2 020-1<0，下列结论正确的是(　　)A．S2 0191，1an，01，1an，00)，由anan＋1＝4n，可得a1a2＝a12q＝4，a2a3＝a12q3＝16，解得a1＝2，q＝2，则an＝a1qn-1＝2·2n-1＝2n-12 ．则1log2an·log2an+1＝1log22n-12 ·log22n+12 ＝1n-12n+12＝42n-12n+1＝212n-1-12n+1，则Tn＝21-13+13-15+…+12n-1-12n+1＝21-12n+1＝4n2n+1．故选A．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为(　　)A．8 B．12C．－8 D．－12AC　[∵a7a5＝164＝q2⇒q＝±2，当q＝2时，a6＝a5q＝4×2＝8，当q＝－2时，a6＝a5q＝4×(－2)＝－8，故选AC．]10．满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　)A．an＝1n B．an＝n2＋nC．an＝1－2n D．an＝2n＋1BD　[根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1n，a1＝1，a2＝12，不是递增数列，不符合题意；对于B，an＝n2＋n，an－an－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n>0，是递增数列，符合题意；对于C，an＝1－2n，an－an－1＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2，不是递增数列，不符合题意；对于D，an＝2n＋1，函数y＝2x＋1为递增函数，则an＝2n＋1是递增数列，符合题意．]11．在等差数列{an}中，a66<0，a67>0，且a67>|a66|，Sn为数列{an}的前n项和，则(　　)A．公差d<0B．a66＋a67<0C．S131<0D．使Sn>0的n的最小值为132CD　[因为a66<0，a67>0，且a67>|a66|，所以d>0，a67>－a66，即a67＋a66>0，所以S132＝66(a1＋a132)＝66(a66＋a67)>0，S131＝131a1+a1312＝131a66<0，所以使Sn>0的n的最小值为132．]12．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn＝3n+39n+3，则使得anbn为整数的正整数n的值为(　　)A．2 B．3C．4 D．14ACD　[由题意可得S2n-1T2n-1＝2n-1a1+a2n-122n-1b1+b2n-12＝2n-1an2n-1bn＝anbn，则anbn＝S2n-1T2n-1＝32n-1+392n-1+3＝3n+18n+1＝3＋15n+1，由于anbn为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．若等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t是常数)，则mt＝________．　－4　[Sn＝m·4n-1＋t＝14·m·4n＋t，因为{an}为等比数列，∴t＝－14m，∴mt＝－4．]14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．429　[设第n天织布的尺数为an，可知数列an为等差数列，设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn＝90，则Sn＝na1+an2＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－429，因此，每天比前一天少织布的尺数为429．]15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．25　[法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25．法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝a4-a14-1＝1--23＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25．]16．如图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯．在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则数列{an}的一个通项公式为__________．an＝8n-17　[根据题中图形可知，a1＝1，an＋1－an＝8n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋8＋82＋…＋8n-1＝8n-17．]四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2 018；(3)2 022是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？[解]　(1)因为等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66．所以2a1+5d=24，a1+16d=66，解得a1＝2，d＝4，所以an＝4n－2．(2)由(1)可得a2 018＝8 070．(3)令an＝4n－2＝2 022，所以n＝506，所以2 022是数列{an}中的第506项．18．(本小题满分12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比为－2．(2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n-1．所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n．可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n＝1--2n3－n×(－2)n．所以Sn＝19－3n+1-2n9．19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2．[解]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，所以等式成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝k(k＋1)2＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)(2)知等式对任意的n∈N*均成立．20．(本小题满分12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[解]　(1)[证明]由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2．又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n-1，an－bn＝2n－1．所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12．21．(本小题满分12分) (2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜Sn2．[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1．因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝13，故an＝13n-1，bn＝n3n．(2)[证明]　由(1)知Sn＝1-13n1-13＝321-13n，Tn＝13＋232＋333＋…＋n3n　①，13Tn＝132＋233＋334＋…＋n-13n＋n3n+1　②，①－②得23Tn＝13＋132＋133＋…＋13n－n3n+1，即23Tn＝131-13n1-13－n3n+1＝121-13n－n3n+1，整理得Tn＝34－2n+34×3n，则2Tn－Sn＝234-2n+34×3n－321-13n＝－n3n＜0，故Tn＜Sn2．22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．[解]　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4 500－52d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d．(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an-2-d－d＝322·an－2－32d－d＝…＝32n-1a1－d1+32+322+…+32n-2．整理得an＝32n-1(3 000－d)－2d32n-1-1＝32n-1·(3 000－3d)＋2d．由题意知am＝4 000，所以32m-1(3 000－3d)＋2d＝4 000，解得d＝32m-2×1 00032m-1＝1 0003m-2m+13m-2m．故该企业每年上缴资金d的值为1 0003m-2m+13m-2m万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．