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人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-2-2导数的四则运算法则5-2-3简单复合函数的导数课时学案
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这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-2-2导数的四则运算法则5-2-3简单复合函数的导数课时学案，共16页。
5.2.2 导数的四则运算法则 5.2.3 简单复合函数的导数海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f (r)＝πr2．油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？知识点1 导数的运算法则(1)和差的导数[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；②[cf (x)]′＝cf ′(x)．(3)商的导数fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(g(x)≠0)．如果f (x)的导数为f ′(x)，c为常数，则函数cf (x)的导数是什么？[提示] 由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf (x)]′＝cf ′(x)．知识点2 复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．内、外层函数通常为基本初等函数．知识点3 复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．下列对函数的求导正确的是( )A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝12x+1ln2C．y＝cos x3，则y′＝13sin x3D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝22x+1ln2，∴B错误；C中，y′＝－13sin x3，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．]2．(1)x2x′＝____________；(2)(xex)′＝____________．(1)1-xln22x (2)(1＋x)ex [(1)x2x′＝2x-x·2xln22x2＝1-xln22x；(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．] 类型1 利用运算法则求导数【例1】 求下列函数的导数：(1)y＝x2cos x；(2)y＝xx+1；(3)y＝ln x＋4x；(4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．[思路引导] 根据每个函数的解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．[解] (1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．(2)法一：y′＝xx+1′＝x'x+1-xx+1'x+12＝1x+12．法二：∵xx+1＝x+1-1x+1＝1－1x+1，∴xx+1′＝1-1x+1′＝1x+12．(3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝1x＋4x ln 4．(4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，∴y′＝(x4－1)′＝4x3． 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则并利用基本公式进行求解．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟进训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝x2－sin x2cos x2；(2)y＝x tan x．[解] (1)∵y＝x2－sin x2cos x2＝x2－12sin x，∴y′＝2x－12cos x．(2)y′＝(x tan x)′＝xsinxcosx′＝xsinx'cosx-xsin'xcosxcos2x＝sinx+xcosxcosx+xsin2xcos2x＝sinxcosx+xcos2x．类型2 求简单复合函数的导数【例2】 (源于人教B版教材)求下列函数的导数．(1)h(x)＝e5x-1；(2)f (x)＝ln (2x＋1)；(3)y＝2x-1；(4)y＝sin 2x+π3．[思路引导] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．[解] (1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1．(2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝1u×2＝22x+1．(3)y＝2x-1可以看成函数y＝u与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(u)′(2x－1)′＝12u×2＝12x-1＝2x-12x-1．(4)y＝sin 2x+π3可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋π3的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′2x+π3′＝2cos u＝2cos 2x+π3． 复合函数的求导注意事项(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本函数求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形；(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．[跟进训练]2．求下列函数的导数：(1)y＝x22x+13；(2)y＝e－xsin 2x；(3)y＝ln 2x+1－1；(4)y＝cos (－2x)＋32x+1．[解] (1)∵y＝x22x+13，∴y′＝2x·2x+13-x2·32x+12·22x+16＝2x-2x22x+14．(2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．(3)∵y＝ln 2x+1－1＝12ln (2x＋1)－1，∴y′＝12×12x+1×(2x＋1)′＝12x+1．(4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3． 类型3 导数运算法则的综合应用【例3】 (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )A．5 B．25C．35 D．0(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．[思路引导] (1)曲线上离直线2x－y＋3＝0最近的点一定是与2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝ln (2x－1)相切的直线的切点．(2)尝试用导数的几何意义．(1)A [设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x-1，∴＝22x0-1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝2-0+34+1＝5，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5．](2)[解] 令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．[母题探究]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为25”，求m的值．[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则 ＝22x0-1＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，∴2-0+m5＝25，解得m＝8或－12．即实数m的值为8或－12．2．(变条件，变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值．[解] 函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝1x，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝1x+1．设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y＝1m·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝1n+1(x－n)＋ln (n＋1)．整理后对比得1m=1n+1，lnm+1=lnn+1-nn+1，解得m=12，n=-12，因此b＝1－ln 2． 利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．[跟进训练]3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′π4，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．[解] 由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝f ′π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1．由y＝x3得y′＝3x2．∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时y＝1．∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．1．设函数f (x)＝ln (2x)＋2e，则f ′(1)＝( )A．12 B．1C．12－2e D．1－2eB [f ′(x)＝1x，则f ′(1)＝1．故选B．]2．(多选)下列运算中正确的是( )A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′C．sinxx2′＝sinx'-x2'x2D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin xAD [A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，sinxx2′＝sinx'x2-sin'xx2x22，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．]3．设f (x)＝sin x cos x，则f (x)在点π6，fπ6处的切线的斜率为( )A．12 B．32C．－12 D．－32A [法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴k＝f ′π6＝cos π3＝12．法二：f (x)＝sin x cos x＝12sin 2x，∴f ′(x)＝12(sin 2x)′＝12cos 2x·(2x)′＝cos 2x，∴k＝f ′π6＝12．]4．已知函数f (x)＝(2x－1)2＋5x．则f ′(x)＝________；曲线y＝f (x)在点(2，19)处的切线方程是________________．8x＋1 17x－y－15＝0 [f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．又f ′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？[提示] ①若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．②若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．(2)求复合函数的导数，应该注意哪些问题？[提示] 求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．(3)利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？[提示] “分解—求导—还原”．即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．课时分层作业(十五) 导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题1．已知函数f (x)＝e2x+1－3x，则f ′(0)＝( )A．0 B．－2 C．2e－3 D．e－3C [∵f (x)＝e2x+1－3x，∴f ′(x)＝2e2x+1－3．∴f ′(0)＝2e－3．]2．若f (x)＝ex ln 2x，则f ′(x)＝( )A．exln 2x＋ex2x B．ex ln 2x－exxC．ex ln 2x＋exx D．2exxC [f ′(x)＝ex ln 2x＋ex×22x＝ex ln 2x＋exx．]3．已知函数f (x)＝x2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A．0 B．－4C．－2 D．2B [由条件知f ′(x)＝2x＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，得f ′(1)＝－2．∴f ′(x)＝2x－4，所以f ′(0)＝－4．故选B．]4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f (t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为 ( )A．20 mm/min B．400 mm/minC．12 mm/min D．14 mm/minD [由f (t)＝10t，得f ′(t)＝1210t·(10t)′＝102t，所以f ′(40)＝10240＝14．]5．(多选)下列结论中不正确的是( )A．若y＝cos 1x，则y′＝－1xsin 1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5xD．若y＝12x sin 2x，则y′＝x sin 2xACD [对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin 1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝12x sin 2x，则y′＝12sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选ACD．]二、填空题6．若函数f (x)＝exx+12，则f ′(x)＝________． x-1exx+13 [∵f (x)＝exx+12，∴f ′(x)＝exx+12-ex×2x+1x+14＝x-1exx+13．]7．曲线C：y＝x ln x在点M(e，e)处的切线方程为________．y＝2x－e [y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0．]8．已知P为指数函数f (x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．2 [设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝ex0＝1，x0＝0，f (0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝0-1-12＝2．]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝a2x-3；(2)y＝x2cos 2x-π3；(3)y＝e－xln x；(4)y＝11-2x．[解] (1)因为y＝a2x-3，所以y′＝a2x-3ln a·(2x－3)′＝2a2x-3ln a．(2)因为y＝x2cos 2x-π3，所以y′＝2x cos 2x-π3＋x2cos2x-π3′＝2x cos 2x-π3－x2sin 2x-π32x-π3′＝2x cos 2x-π3－2x2sin 2x-π3．(3)因为y＝e－xln x，所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·1x＝－e－xln x＋e-xx＝1-xlnxxex．(4)因为y＝11-2x＝(1－2x)-12 ，所以y′＝－12(1－2x)-32 ×(－2)＝11-2x1-2x．10．(多选)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )A．1x′＝1x2B．(2cos x)′＝－2sin xC．3xln3′＝3xD．(lg x)′＝-1xln10BC [1x′＝－1x2，(2cos x)′＝－2sin x，3xln3′＝3x，(lg x)′＝1xln10．故选BC．]11．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝x ln x＋1，则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为( )A．y＝－x B．y＝－x＋2C．y＝x D．y＝x－2A [因为x＜0时，f (x)＝f (－x)＝－x ln (－x)＋1，f (－1)＝1，f ′(x)＝－ln (－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．]12．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．e2 [因为y′＝12e12x，所以曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线的斜率为12e2．于是切线方程为y－e2＝12e2(x－4)．令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2．所以面积S＝12×e2×2＝e2．]13．已知f (x)＝xex，则f ′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．2e (－4，0) [f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，设点为曲线C上任意一点．∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为＝x0+1ex0(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0-x0ex0＝x0+1ex0(a－x0)，即x02－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0．∴a的取值范围是(－4，0)．]14．已知函数f (x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x)＝x2－4x＋3．则f ′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和(1)中结论可知，k≥-1，-1k≥-1，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．15．设函数f (x)＝aex ln x＋bex-1x．(1)求导函数f ′(x)；(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．[解] (1)由f (x)＝aex ln x＋bex-1x，得f ′(x)＝(aex ln x)′＋bex-1x′＝aex ln x＋aexx＋bex-1x-bex-1x2．(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，∴b＝2．将x＝1代入导函数f ′(x)中，得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1．∴a＝1，b＝2． 学习任务1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．(数学运算)2．能求简单的复合函数(限于形如f (ax＋b))的导数．(数学运算)
5.2.2 导数的四则运算法则 5.2.3 简单复合函数的导数海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f (r)＝πr2．油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？知识点1 导数的运算法则(1)和差的导数[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；②[cf (x)]′＝cf ′(x)．(3)商的导数fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(g(x)≠0)．如果f (x)的导数为f ′(x)，c为常数，则函数cf (x)的导数是什么？[提示] 由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf (x)]′＝cf ′(x)．知识点2 复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．内、外层函数通常为基本初等函数．知识点3 复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．下列对函数的求导正确的是( )A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝12x+1ln2C．y＝cos x3，则y′＝13sin x3D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝22x+1ln2，∴B错误；C中，y′＝－13sin x3，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．]2．(1)x2x′＝____________；(2)(xex)′＝____________．(1)1-xln22x (2)(1＋x)ex [(1)x2x′＝2x-x·2xln22x2＝1-xln22x；(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．] 类型1 利用运算法则求导数【例1】 求下列函数的导数：(1)y＝x2cos x；(2)y＝xx+1；(3)y＝ln x＋4x；(4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．[思路引导] 根据每个函数的解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．[解] (1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．(2)法一：y′＝xx+1′＝x'x+1-xx+1'x+12＝1x+12．法二：∵xx+1＝x+1-1x+1＝1－1x+1，∴xx+1′＝1-1x+1′＝1x+12．(3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝1x＋4x ln 4．(4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，∴y′＝(x4－1)′＝4x3． 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则并利用基本公式进行求解．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟进训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝x2－sin x2cos x2；(2)y＝x tan x．[解] (1)∵y＝x2－sin x2cos x2＝x2－12sin x，∴y′＝2x－12cos x．(2)y′＝(x tan x)′＝xsinxcosx′＝xsinx'cosx-xsin'xcosxcos2x＝sinx+xcosxcosx+xsin2xcos2x＝sinxcosx+xcos2x．类型2 求简单复合函数的导数【例2】 (源于人教B版教材)求下列函数的导数．(1)h(x)＝e5x-1；(2)f (x)＝ln (2x＋1)；(3)y＝2x-1；(4)y＝sin 2x+π3．[思路引导] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．[解] (1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1．(2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝1u×2＝22x+1．(3)y＝2x-1可以看成函数y＝u与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(u)′(2x－1)′＝12u×2＝12x-1＝2x-12x-1．(4)y＝sin 2x+π3可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋π3的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′2x+π3′＝2cos u＝2cos 2x+π3． 复合函数的求导注意事项(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本函数求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形；(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．[跟进训练]2．求下列函数的导数：(1)y＝x22x+13；(2)y＝e－xsin 2x；(3)y＝ln 2x+1－1；(4)y＝cos (－2x)＋32x+1．[解] (1)∵y＝x22x+13，∴y′＝2x·2x+13-x2·32x+12·22x+16＝2x-2x22x+14．(2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．(3)∵y＝ln 2x+1－1＝12ln (2x＋1)－1，∴y′＝12×12x+1×(2x＋1)′＝12x+1．(4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3． 类型3 导数运算法则的综合应用【例3】 (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )A．5 B．25C．35 D．0(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．[思路引导] (1)曲线上离直线2x－y＋3＝0最近的点一定是与2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝ln (2x－1)相切的直线的切点．(2)尝试用导数的几何意义．(1)A [设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x-1，∴＝22x0-1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝2-0+34+1＝5，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5．](2)[解] 令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．[母题探究]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为25”，求m的值．[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则 ＝22x0-1＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，∴2-0+m5＝25，解得m＝8或－12．即实数m的值为8或－12．2．(变条件，变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值．[解] 函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝1x，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝1x+1．设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y＝1m·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝1n+1(x－n)＋ln (n＋1)．整理后对比得1m=1n+1，lnm+1=lnn+1-nn+1，解得m=12，n=-12，因此b＝1－ln 2． 利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．[跟进训练]3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′π4，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．[解] 由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝f ′π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1．由y＝x3得y′＝3x2．∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时y＝1．∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．1．设函数f (x)＝ln (2x)＋2e，则f ′(1)＝( )A．12 B．1C．12－2e D．1－2eB [f ′(x)＝1x，则f ′(1)＝1．故选B．]2．(多选)下列运算中正确的是( )A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′C．sinxx2′＝sinx'-x2'x2D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin xAD [A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，sinxx2′＝sinx'x2-sin'xx2x22，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．]3．设f (x)＝sin x cos x，则f (x)在点π6，fπ6处的切线的斜率为( )A．12 B．32C．－12 D．－32A [法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴k＝f ′π6＝cos π3＝12．法二：f (x)＝sin x cos x＝12sin 2x，∴f ′(x)＝12(sin 2x)′＝12cos 2x·(2x)′＝cos 2x，∴k＝f ′π6＝12．]4．已知函数f (x)＝(2x－1)2＋5x．则f ′(x)＝________；曲线y＝f (x)在点(2，19)处的切线方程是________________．8x＋1 17x－y－15＝0 [f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．又f ′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？[提示] ①若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．②若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．(2)求复合函数的导数，应该注意哪些问题？[提示] 求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．(3)利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？[提示] “分解—求导—还原”．即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．课时分层作业(十五) 导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题1．已知函数f (x)＝e2x+1－3x，则f ′(0)＝( )A．0 B．－2 C．2e－3 D．e－3C [∵f (x)＝e2x+1－3x，∴f ′(x)＝2e2x+1－3．∴f ′(0)＝2e－3．]2．若f (x)＝ex ln 2x，则f ′(x)＝( )A．exln 2x＋ex2x B．ex ln 2x－exxC．ex ln 2x＋exx D．2exxC [f ′(x)＝ex ln 2x＋ex×22x＝ex ln 2x＋exx．]3．已知函数f (x)＝x2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A．0 B．－4C．－2 D．2B [由条件知f ′(x)＝2x＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，得f ′(1)＝－2．∴f ′(x)＝2x－4，所以f ′(0)＝－4．故选B．]4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f (t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为 ( )A．20 mm/min B．400 mm/minC．12 mm/min D．14 mm/minD [由f (t)＝10t，得f ′(t)＝1210t·(10t)′＝102t，所以f ′(40)＝10240＝14．]5．(多选)下列结论中不正确的是( )A．若y＝cos 1x，则y′＝－1xsin 1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5xD．若y＝12x sin 2x，则y′＝x sin 2xACD [对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin 1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝12x sin 2x，则y′＝12sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选ACD．]二、填空题6．若函数f (x)＝exx+12，则f ′(x)＝________． x-1exx+13 [∵f (x)＝exx+12，∴f ′(x)＝exx+12-ex×2x+1x+14＝x-1exx+13．]7．曲线C：y＝x ln x在点M(e，e)处的切线方程为________．y＝2x－e [y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0．]8．已知P为指数函数f (x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．2 [设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝ex0＝1，x0＝0，f (0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝0-1-12＝2．]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝a2x-3；(2)y＝x2cos 2x-π3；(3)y＝e－xln x；(4)y＝11-2x．[解] (1)因为y＝a2x-3，所以y′＝a2x-3ln a·(2x－3)′＝2a2x-3ln a．(2)因为y＝x2cos 2x-π3，所以y′＝2x cos 2x-π3＋x2cos2x-π3′＝2x cos 2x-π3－x2sin 2x-π32x-π3′＝2x cos 2x-π3－2x2sin 2x-π3．(3)因为y＝e－xln x，所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·1x＝－e－xln x＋e-xx＝1-xlnxxex．(4)因为y＝11-2x＝(1－2x)-12 ，所以y′＝－12(1－2x)-32 ×(－2)＝11-2x1-2x．10．(多选)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )A．1x′＝1x2B．(2cos x)′＝－2sin xC．3xln3′＝3xD．(lg x)′＝-1xln10BC [1x′＝－1x2，(2cos x)′＝－2sin x，3xln3′＝3x，(lg x)′＝1xln10．故选BC．]11．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝x ln x＋1，则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为( )A．y＝－x B．y＝－x＋2C．y＝x D．y＝x－2A [因为x＜0时，f (x)＝f (－x)＝－x ln (－x)＋1，f (－1)＝1，f ′(x)＝－ln (－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．]12．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．e2 [因为y′＝12e12x，所以曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线的斜率为12e2．于是切线方程为y－e2＝12e2(x－4)．令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2．所以面积S＝12×e2×2＝e2．]13．已知f (x)＝xex，则f ′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．2e (－4，0) [f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，设点为曲线C上任意一点．∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为＝x0+1ex0(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0-x0ex0＝x0+1ex0(a－x0)，即x02－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0．∴a的取值范围是(－4，0)．]14．已知函数f (x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x)＝x2－4x＋3．则f ′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和(1)中结论可知，k≥-1，-1k≥-1，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．15．设函数f (x)＝aex ln x＋bex-1x．(1)求导函数f ′(x)；(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．[解] (1)由f (x)＝aex ln x＋bex-1x，得f ′(x)＝(aex ln x)′＋bex-1x′＝aex ln x＋aexx＋bex-1x-bex-1x2．(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，∴b＝2．将x＝1代入导函数f ′(x)中，得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1．∴a＝1，b＝2． 学习任务1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．(数学运算)2．能求简单的复合函数(限于形如f (ax＋b))的导数．(数学运算)
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