人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-3-2第2课时函数的最大(小)值课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-3-2第2课时函数的最大(小)值课时学案，共21页。

第2课时　函数的最大(小)值费马(1601－1665)是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他具有律师的全职工作．17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就，是17世纪数学家中最多产的明星．他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．大约在1637年，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧．知识点1　函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．知识点2　求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；　(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数f (x)在闭区间[a，b]上连续是f (x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． (　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值． (　　)(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×[提示]　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．2．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是(　　)A．1　　　 B．2C．0 D．－1A　[设f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．∵x∈[0，2]，∴当x＝12时，f ′(x)＝0．又f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26，∴函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1．] 类型1　求不含参数的函数的最值【例1】　求下列各函数的最值．(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈-π2，π2．[思路引导]　求函数的导数，得到函数的极值点，先求出极值，再结合定义域，将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值．[解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1．当x变化时，f ′(x)，f (x)变化情况如表：从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f (x)取得最小值－1．　当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11．(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝12，又∵x∈-π2，π2，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±π3，∴x＝±π6．∴函数f (x)在-π2，π2上的两个极值分别为f π6＝32－π6，f -π6＝－32＋π6．又f π2＝－π2，f -π2＝π2．比较以上函数值可得f (x)max＝π2，f (x)min＝－π2．　求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的方法(1)求函数f (x)的导函数f ′(x)；(2)解方程f ′(x)＝0，求出使得f ′(x)＝0的所有点；(3)计算函数f (x)在区间[a，b]内使得f ′(x)＝0的所有点以及端点的函数值；(4)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．[跟进训练]1．(源于人教B版教材)已知f (x)＝x2ex，x≤1，求f (x)的极值点以及极值、最值点以及最值．[解]　当x<1时，f ′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex．解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或04e2，所以函数的最大值点为1，最大值为e；x2ex≥0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为0，而且最小值是0． 类型2　求含参数的函数的最值【例2】　已知函数f (x)＝x-ax－ln x(a∈R)．(1)讨论f (x)的单调区间；(2)求f (x)在1e，e上的最大值g(a)．[解]　(1)f (x)的定义域是(0，＋∞)．∵f (x)＝x-ax－ln x，∴f ′(x)＝a-xx2．①当a>0时，令f ′(x)>0，解得0a，故f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．②当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减．综上，当a>0时，f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减；当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知当a≤1e时，f (x)在1e，e上单调递减，g(a)＝f (x)max＝f 1e＝2－ae，当1e0，可得f ′(x)＝1x－1＝1-xx．当x＞1时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减；当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增．可得x＝1时，f (x)取得极大值，且为最大值．即f (x)max＝0．所以f (x)≤0，即ln x≤x－1． 类型4　已知函数最值求参数值或范围【例4】　已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29，求a，b的值．[思路引导]　先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．[解]　求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．∵a>0，∴x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表：由表可知，当x＝0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3．又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3f (－1)，∴f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2．故a＝－2，b＝－29．2．(变条件，变结论)设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．[解]　∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f (x)取最小值f (－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1．令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表：∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m．h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0．∴m的取值范围为(1，＋∞)．　由函数的最值确定参数的值或取值范围由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：(1)求导数f ′(x)，并求极值；(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．[跟进训练]4．已知f (x)＝2ax－bx＋ln x在x＝1与x＝12处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若x∈14，1时，f (x)＜c恒成立，求实数c的取值范围．[解]　(1)∵f (x)＝2ax－bx＋ln x，∴f ′(x)＝2a＋bx2＋1x，∵f (x)＝2ax－bx＋ln x在x＝1与x＝12处都取得极值，∴f ′(1)＝0，f ′12＝0．∴2a+b+1=0，2a+4b+2=0，解得a＝b＝－13．(2)由(1)可知f (x)＝－23x＋13x＋ln x，令f ′(x)＝－23－13x2＋1x＝－2x-1x-13x2＝0，解得x＝1或x＝12，∵x∈14，1，∴f (x)在14，12上单调递减，在12，1上单调递增．f 14＝76－ln 4，f (1)＝－13，而f 14－f (1)＝76-ln4－-13＝32－ln 4＞0，∴f 14＞f (1)，即f (x)在14，1上的最大值为76－ln 4．对x∈14，1时，f (x)＜c恒成立，等价于f (x)max＜c，即76－ln 4＜c，∴实数c的取值范围为76-ln4，+∞．1．如图所示，函数f (x)导函数的图象是一条直线，则(　　)A．函数f (x)没有最大值也没有最小值B．函数f (x)有最大值，没有最小值C．函数f (x)没有最大值，有最小值D．函数f (x)有最大值，也有最小值C　[由导函数的图象可知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x)在x＝1处取得最小值，∴函数f (x)没有最大值，只有最小值．]2．函数y＝lnxx的最大值为(　　)A．e-1　　　B．e　　　C．e2　　　D．10A　[令y′＝1-lnxx2＝0⇒x＝e．当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以ymax＝e-1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e-1．]3．(多选)函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是(　　)A．x＝－3是函数y＝f (x)的极值点B．x＝－1是函数y＝f (x)的最小值点C．y＝f (x)在区间(－3，1)上单调递增D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率大于零ACD　[根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f ′(x)≥0，∴函数y＝f (x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；易知x＝－3是函数y＝f (x)的极小值点，故A正确；∵函数y＝f (x)在(－3，1)上单调递增，∴x＝－1不是函数y＝f (x)的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D正确．]4．若函数f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0，2)上的极大值为最大值，则m的取值范围是______________．(0，3)　[由题得f ′(x)＝－3x2＋2mx，令f ′(x)＝0，得x＝2m3或x＝0(舍去)，因为f (x)在区间(0，2)内的极大值为最大值，所以2m3∈(0，2)，即0＜2m3＜2，所以00，Δ<(≤)0或a<0，Δ<(≤)0)求解．课时分层作业(十八)　函数的最大(小)值一、选择题1．连续函数y＝f (x)在[a，b]上(　　)A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值D　[由函数的最值与极值的概念可知，y＝f (x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．]2．函数f (x)＝xex的最小值是(　　)A．－1 B．－eC．－1e D．不存在C　[f ′(x)＝ex(1＋x)，f ′(x)＞0时x＞－1，f ′(x)＜0时x＜－1，∴x＝－1时函数f (x)取得极小值，也是最小值，f (x)min＝f (－1)＝－e-1＝－1e．故选C．]3．函数f (x)＝2x＋1x，x∈(0，5]的最小值为(　　)A．2 B．3C．174 D．22＋12B　[由f ′(x)＝1x－1x2＝x32-1x2＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x∈(1，5]时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．所以当x＝1时，f (x)取得最小值且最小值为f (1)＝3．]4．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)A．0 B．－5C．－10 D．－37D　[因为f (x)＝2x3－6x2＋m，所以f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f (x)＝m为最大值，所以m＝3，即f (x)＝2x3－6x2＋3，所以f (－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f (2)＝－5，所以最小值是－37，故选D．]5．(多选)若函数f (x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　)A．0 B．1C．2 D．3ABC　[由f ′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1．当x变化时，f ′(x)及f (x)的变化情况如表：由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜11．又当x∈(1，＋∞)时，f (x)单调递减，且当x＝2时，f (x)＝－2．∴a≤2．综上，－1＜a≤2．故选ABC．]二、填空题6．函数f (x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．1　[f ′(x)＝1－1x，令f ′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)＝1．]7．函数f (x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则实数a的取值范围为________．(0，1)　[∵f ′(x)＝3x2－3a，且f ′(x)＝0有解，∴a＝x2．又∵x∈(0，1)，∴03，所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f ′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1．因为f (－2)＝2＋a，f (2)＝22＋a，f (－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f (x)min＝－5＋a．要使f (x)≥2 023对于x∈[－2，2]恒成立，只需fxmin＝－5＋a≥2 023，解得a≥2 028．15．已知函数f (x)＝aex－ln x－1．(1)设x＝2是f (x)的极值点，求a，并求f (x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥0．[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－1x．由题设知，f ′(2)＝0，所以a＝12e2．从而f (x)＝12e2ex－ln x－1，f ′(x)＝12e2ex－1x．当02时，f ′(x)>0．所以f (x)的单调递减区间是(0，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥exe－ln x－1．设g(x)＝exe－ln x－1，则g′(x)＝exe－1x．当01时，g′(x)>0，所以x＝1是g(x)的极小值点也为最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0．因此，当a≥1e时，f (x)≥0．学习任务1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．(数学运算)2．体会导数在求最值中的应用．(数学运算、逻辑推理)3．能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．(数学运算、逻辑推理)x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f ′(x)＋0－0＋f (x)－1单调递增11单调递减－1单调递增11x－1(－1，0)0(0，2)2f ′(x)＋0－f (x)－7a＋b单调递增b单调递减－16a＋bt(0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)单调递增极大值1－m单调递减x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f ′(x)－0＋0－f (x)单调递减－2单调递增2单调递减x－3(－3，－2)－2(－2，23)23(23，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值38－40278x－2(－2，－1)－1(－1，2)2f ′(x)＋0－0f (x)2单调递增13单调递减－14