人教A版高中数学选择性必修第二册第5章章末综合提升课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章章末综合提升课时学案，共20页。

类型1　导数的几何意义1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f (x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．【例1】　(1)曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)A．1 B．eC．－1e D．1e(2)设a∈R，函数f (x)＝ex＋a·e－x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________．(3)求函数f (x)＝x3－x图象上过点(1，0)的切线方程．(1)D　(2)ln 2　[(1)设M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝1x，所以切线斜率k＝1x0，所以切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)．由题意得0－ln x0＝1x0(0－x0)＝－1，即ln x0＝1，所以x0＝e．所以k＝1x0＝1e．(2)由题意可得f ′(x)＝ex－aex是奇函数，所以f ′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f (x)＝ex＋1ex，f ′(x)＝ex－1ex．因为曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是32，所以32＝ex－1ex，可得ex＝2(负舍)，所以x＝ln 2．](3)[解]　设函数f (x)＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x03－x0)，则切线斜率为k＝f ′(x0)＝3x02－1，切线方程为y-(x03－x0)＝(3x02－1)(x－x0)．由于切线经过点(1，0)，所以0-(x03－x0)＝(3x02－1)(1－x0)，整理得2x03-3x02＋1＝0，即2(x03－1)-3(x02－1)＝0，所以2(x0－1)(x02＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－12．所以P(1，0)或P-12，38，所以切线方程为y＝2x－2或y＝－14x＋14． 类型2　函数的单调性与导数利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f (x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f (x)求导，得到f ′(x)；(2)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0．若f ′(x)＝0恒成立，则函数f (x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．【例2】　若函数f (x)＝13x3－a2x2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，试求实数a的取值范围．[解]　f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f ′(x)≤0在区间(1，4)上恒成立，且f ′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0．因为x∈(1，4)，所以x－1∈(0，3)，所以a≥x2-1x-1＝x＋1．因为x＋1∈(2，5)，而a≥x＋1恒成立，所以a≥5．由f ′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0．因为x∈(6，＋∞)，所以x－1＞5，所以a≤x2-1x-1＝x＋1．因为x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，所以a≤7．经检验，a＝5和a＝7都符合题意，所以实数a的取值范围是[5，7]． 类型3　函数的极值与导数1．已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤(1)求函数的导数f ′(x)；(2)由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．2．对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．【例3】　(1)函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a在x＝2处取得极值8，则a＝(　　)A．－4或6　　 B．－4 C．6 D．4或－6(2)设a∈R，若函数y＝x＋a ln x在区间1e，e有极值点，则a取值范围为(　　)A．1e，eB．-e，-1eC．-∞，1e∪(e，＋∞)D．(－∞，－e)∪-1e，+∞(1)B　(2)B　[(1)对函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a，求导得，f ′(x)＝3x2－2ax－b．又∵在x＝2处有极值为8，∴f'2=0，f2=8解得a=-4，b=28或a=6，b=-12．①当a=-4，b=28时，f ′(x)＝3x2＋8x－28＝0，解得x1＝2，x2＝－143，∴有两个不等的实根，满足题意；②当a=6，b=-12时，f ′(x)＝3x2－12x＋12＝0⇒3(x2－4x＋4)＝0⇒3(x－2)2＝0，∴x有两个相等的实根，在此处无极值，不满足题意．故a的值是－4，故选B．(2)函数y＝f (x)＝x＋a ln x在区间1e，e有极值点⇔y′＝0在区间1e，e有零点．f ′(x)＝1＋ax＝x+ax(x＞0)．∴f ′1e·f ′(e)＜0，∴1e+a(e＋a)＜0，解得－e＜a＜－1e．∴a的取值范围为-e，-1e．故选B．] 类型4　函数的最值与导数求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．【例4】　已知函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1．(1)求a，b的值；(2)求f (x)在[0，2]上的值域．[解]　(1)∵函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1，∴f ′(x)＝3x2－6ax＋2b，f ′(1)＝3－6a＋2b＝0， ①且f (1)＝1－3a＋2b＝－1， ②联立①②，解得a＝13，b＝－12．(2)由(1)得f (x)＝x3－x2－x，∴f ′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)，x∈[0，2]．由f ′(x)＝3x2－2x－1>0得10，f (x)在区间(64，640)内单调递增．所以f (x)在x＝64处取得最小值．此时，b＝ax－1＝64064－1＝9．即需新建9个桥墩才能使y最小． 类型6　与导数有关的综合性问题1．导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具，从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．【例6】　已知函数f (x)＝x ln x．(1)求f (x)的最小值；(2)若对任意的x≥1都有f (x)≥ax－1，求实数a的取值范围．(3)若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．[解]　(1)f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋ln x，令f ′(x)>0，解得x>1e；令f ′(x)<0，解得01时，f (x)>0，故当－1e0”是“f (x)在R上单调递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[f ′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f (x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]6．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)A．e B．－eC．1e D．－1eC　[设切点坐标为(a，ln a)，∵y＝ln x(x>0)，∴y′＝1x，切线的斜率是1a，切线的方程为y－ln a＝1a(x－a)，将(0，0)代入可得ln a＝1，∴a＝e，∴切线的斜率是1a＝1e．故选C．]7．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(　　)A．2033 B．10C．20 D．203A　[设圆锥的高为x(0＜x＜20)，则圆锥底面半径r＝400-x2，∴圆锥体积V＝13πr2·x＝13π(400－x2)x＝－π3x3＋400π3x，∴V′＝－πx2＋400π3，令V′＝0，解得x＝2033，当x∈0，2033时，V′＞0；当x∈2033，20时，V′＜0，∴当x＝2033时，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为2033．]8．已知函数g(x)的图象关于y轴对称，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(2)＝0，且g(x)＝f (x＋1)，则(x＋1)f (x)>0的解集为(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)A　[因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，则g(－2)＝g(2)＝0．因为当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)单调递增，故当x<－2或x>2时，g(x)>0，当－20等价于(x＋1)g(x－1)>0，所以x+1>0，x-1<-2或x+1>0，x-1>2或x+1<0，-23，所以(x＋1)f (x)>0的解集为(3，＋∞)．故选A．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列结论中正确的有(　　)A．若y＝sin π3，则y′＝0B．若f (x)＝3x2－f ′(1)x，则f ′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xABC　[选项A中，若y＝sin π3＝32，则y′＝0，故A正确；选项B中，若f (x)＝3x2－f ′(1)·x，则f ′(x)＝6x－f ′(1)，令x＝1，则f ′(1)＝6－f ′(1)，解得f ′(1)＝3，故B正确；选项C中，若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1，故C正确；选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．故选ABC．]10．设点P是曲线y＝ex－3x＋23上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含区间(　　)A．2π3，π B．π2，5π6C．0，π2 D．0，π2∪5π6，πCD　[y＝ex－3x＋23的导数为y′＝ex－3，由ex>0，可得切线的斜率k>－3，由tan α>－3，可得0≤α<π2或2π3<α<π，故选CD．]11．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，则(　　)A．在x＝－2时，函数y＝f (x)取得极值B．在x＝1时，函数y＝f (x)取得极值C．y＝f (x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零D．函数y＝f (x)在区间(－2，2)上单调递增AD　[由题图可知，x＝－2是导函数f ′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，函数f (x)取得极值，选项A正确；x＝1不是导函数f ′(x)的一个变号零点，故当x＝1时，函数f (x)不能取得极值，选项B错误；y＝f (x)的图象在x＝0处的切线斜率为f ′(x)＞0，选项C错误；当x∈(－2，2)时，f ′(x)≥0，此时函数y＝f (x)单调递增，选项D正确．故选AD．]12．已知函数f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x ln x，则下列说法正确的是(　　)A．f (x)在区间-1e，1e上单调递减B．f (x)在区间1e2，1上单调递增C．当－1e0时，f (x)＝x ln x，所以f ′(x)＝ln x＋1，当x∈0，1e时，f ′(x)<0，则f (x)在0，1e上单调递减，当x∈1e，1时，f ′(x)>0，则f (x)在1e，1上单调递增，所以当x＝1e时，f (x)取得极小值，又当x→0＋时，f (x)→0，函数f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以当x＝0时，f (x)＝0，当x＝－1e时，f (x)取得极大值，所以f (x)在区间-1e，1e上单调递减，故A正确，D正确，C错误；又0<1e2<1e，所以f (x)在1e2，1e上单调递减，在1e，1上单调递增，故B错误．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．若曲线f (x)＝x ln x＋x在点(1，1)处的切线与直线2x＋ay－4＝0平行，则a＝________．－1　[∵f (x)＝x ln x＋x(x＞0)，∴f ′(x)＝ln x＋2，∴f (x)在x＝1处的切线斜率k＝f ′(1)＝2．由条件知－2a＝2，解得a＝－1．故答案为－1．]14．函数f (x)＝-xex的极小值点为________．　x＝1　[由f (x)＝-xex，可得f ′(x)＝-1+xex，x＝1时，f ′(x)＝0，当x∈(－∞，1)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以函数f (x)＝-xex的极小值点为x＝1．故答案为x＝1．]15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)＝________．①f (x1x2)＝f (x1)f (x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0；③f ′(x)是奇函数．x4(答案不唯一)　[取f (x)＝x4，则f (x1x2)＝(x1x2)4＝x14x24＝f (x1)f (x2)，满足①；f ′(x)＝4x3，当x>0时有f ′(x)>0，满足②；f ′(x)＝4x3的定义域为R，又f ′(－x)＝－4x3＝－f ′(x)，故f ′(x)是奇函数，满足③．]16．若函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是________．-∞，32　[f (x)＝(－x2＋ax)ex，则f ′(x)＝ex(－x2＋ax－2x＋a)，函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，只需－x2＋ax＋a－2x<0在区间(－1，1)上有解，记g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，对称轴x＝a-22，开口向下，g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0，所以－1＋a－2＋a<0，解得a<32．]四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x)＝ln x－ex＋m在x＝1处有极值，求m的值及f (x)的单调区间．[解]　f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－ex＋m，由题意f ′(1)＝0，解得m＝－1，所以f ′(x)＝1x－ex-1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f ′(x)是减函数，且f ′(1)＝0，所以当00，f (x)是增函数，当x>1时，f ′(x)<0，f (x)是减函数．所以f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．18．(本小题满分12分)设函数f (x)＝a ln x＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f (x)的极值．[解]　(1)f ′(x)＝ax－12x2＋32．由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，所以a－12＋32＝0，解得a＝－1．(2)由(1)知f (x)＝－ln x＋12x＋32x＋1(x>0)，f ′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2-2x-12x2＝3x+1x-12x2．令f ′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(舍去)．当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，故f (x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，故f (x)在(1，＋∞)上单调递增．故f (x)在x＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．19．(本小题满分12分) (2021·全国甲卷)设函数f (x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0．(1)讨论f (x)的单调性；(2)若y＝f (x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．[解]　(1)由题意，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2a2x＋a－3x＝2a2x2+ax-3x＝ax-12ax+3x，则当x＞1a时，f ′(x)>0，f (x)单调递增；当00恒成立，故a2·1a2＋a·1a－3ln 1a＋1＞0，得a＞1e，所以a的取值范围为1e ，+∞．20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝12－x2．(1)求曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程；(2)设曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．[解]　(1)f ′(x)＝－2x．设切点坐标为(x0，y0)，∵f ′(x0)＝－2x0＝－2，∴x0＝1，y0＝11，∴切点坐标为(1，11)，∴切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0．(2)由题意知t≠0．∵f ′(x)＝－2x，∴曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线的斜率为f ′(t)＝－2t．又f (t)＝12－t2，∴曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12．令x＝0，则y＝t2＋12；令y＝0，则x＝t2+122t，∴切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，t2＋12)，t2+122t，0，∴S(t)＝12(t2＋12)·t2+122t＝t2+1224t，t≠0．∵S(t)为偶函数，∴仅需考虑t＞0即可，则S(t)＝14t3+24t+144t，t＞0，S′(t)＝143t2+24-144t2＝34t2(t＋2)(t－2)(t2＋12)．令S′(t)＞0，得t＞2，令S′(t)＜0，得0＜t＜2，∴S(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，S(t)min＝S(2)＝32．由S(t)为偶函数，知当t＝±2时，S(t)取最小值，最小值为32．21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为Vm3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0，53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，r∈(0，53)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．22．(本小题满分12分)函数f (x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α．(1)已知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；(2)当k＝0时，讨论函数f (x)零点的个数．[解]　(1)f ′(x)＝ex－k+1x，x>0，因为函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ex－k+1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立，因为函数y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，且y∈(0，＋∞)，所以k＋1≤0，所以k≤－1，即实数k的取值范围是(－∞，－1]．(2)当k＝0时，f ′(x)＝ex－1x，x>0，f ′(x)为增函数且f ′(1)>0，f ′12<0，所以存在m∈12，1，使f ′(m)＝0，即em＝1m，且x∈(0，m)，f ′(x)<0，f (x)单调递减，x∈(m，＋∞)，f ′(x)>0，f (x)单调递增，故当x＝m时，f (x)min＝f (m)＝em－ln m＋2sin α＝1m＋m＋2sin α≥2＋2sin α≥0，当且仅当m＝1m，即m＝1时取等号，由m∈12，1，所以fxmin>0，所以f (x)>0恒成立，所以函数f (x)零点个数为0．