山西省实验中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省实验中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级 数学
（本试卷满分100分，考试时间90分钟）
一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵⇔，
⇔，
⇔，
⇔，
∴变形正确的是选项D．
故选：D．
2. 下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：A、，整理得，移项以后可提取公因式，进行因式分解；
B、可化为：，不能进行因式分解，故错误；
C、，不能进行因式分解，故错误；
D、整理得，不能进行因式分解，故错误；
故选：A．
3. 下列结论错误的是（ ）
A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线垂直的四边形是菱形
【答案】D
解析：解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，结论正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，结论错误，符合题意；
故选：D．
4. 方程x2﹣2x﹣4=0的根的情况（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】B
解析：Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－4）=20＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B.
5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
解析：解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 根据表格，选取一元二次方程一个近似解的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由表格可知，当时，；当时，；
∴当时，x的取值范围为，
故选：C．
7. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为( )
A. 16B. 15C. 14D. 13
【答案】A
解析：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA==8，
∴AE=2OA=16．
故选A．
8. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）

A. 当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B. 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C. 随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D. 当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440
【答案】C
解析：解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.440，故D选项不符合题意；
故选C
9. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A. B. 4C. 4.5D. 5
【答案】D
解析：设FC′=x，则FD=9﹣x，
∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD=BC=6，C′D=3，
在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，
∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5，
故选D．
10. 如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）

A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时
【答案】A
解析：解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得：
千米，千米，
∵，
则，
解得：．
即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距6千米．
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程x（x﹣3）=0的解是________．
【答案】，；
解析：x(x-3)=0，
x=0，x-3=0，
x1=0，x2=3.
12. 在中，，则边上的中线_____．
【答案】5
解析：解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
13. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________．

【答案】
解析：解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为．
14. 如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．
【答案】2
解析：解：设人行通道的宽度为xm，
由题意得（30-3x）（24-2x）=480，
解得x1=2，x2=20（舍去），
∴人行通道的宽度为2m，
故答案为：2．
15. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到阴影部分面积，大正方形的面积为，则大正方形的边长为8，，所以方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为______．
【答案】
解析】，
∵阴影部分的面积为60，
∴，
如图②所示的图形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到阴影部分面积，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1解析】
解：，
或，
；
【小问2解析】
解：
，
，
，
，
；
【小问3解析】
解：，
，
，
或，
．
17. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果．
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）公平，理由见解析
【小问1解析】
解：方法一：列表如下：
∴由上表可知，所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种．
方法二：

∴所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种．
【小问2解析】
解：这个游戏公平．
理由如下：
由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现可能性的大小相等．
其中两人恰好是师徒关系的有6种．
故 ，
，
∵，
∴该游戏公平．
18. 我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
（2）若是倍根方程，则___________．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）4或16
【小问1解析】
解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
【小问2解析】
解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
19. 如图，，直线交于点0，且分别与直线交于点和点，己知，

（1）直接写出的长度为_________；
（2）求的长度．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2解析】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【答案】（1）1050元
（2）50元
【20题解析】
解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
【21题解析】
设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，
依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
21. 综合与实践
问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析
（2）
【小问1解析】
结论：四边形是正方形，
理由：∵是由绕点B按顺时针方向旋转得到的，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形是正方形；
【小问2解析】
过E点作于H点，于G点，如下图，则，

四边形为正方形，
，
设，则，
在中，
，
，
解得（舍去），
，
绕点B按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
在中，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
即的长为．
22. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
知图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，则四边形是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”（要求：在格点上）；
（2）如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且交于点．若，求证：“准菱形”是菱形；
（3）在（2）的条件和结论下，连接，若，请直接写出菱形的边长为__________．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析 （3）2
【小问1解析】
解：如图，四边形和即为所求．

【小问2解析】
证明：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴“准菱形”是平行四边形，
∵，
∴“准菱形”是菱形；
【小问3解析】
如图：取的中点M，连接、，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴和为直角三角形，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
即菱形的边长为2．
故答案为：2．
0
0.5
1
5
2.75
1
x
y
A
B
C
D
A
B
C
D