人教A版高中数学必修第一册第3章章末综合提升课时学案

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类型1　函数的概念及其表示1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点．2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养．【例1】　(1)(2022·贵州遵义四中月考)下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是(　　)A．f (x)＝x2x，g(x)＝xB．f (x)＝x+2·x-2，g(x)＝x2-4C．f (x)＝x2，g(x)＝xD．f (x)＝|x－2|，g(t)＝t-2，t≥2， -t+2，t<2(2)(多选)已知函数f (x)＝x2，-2≤x<1，-x+2，x≥1， 关于函数f (x)的结论正确的是(　　)A．f (x)的定义域为RB．f (x)的值域为(－∞，4]C．若f (x)＝2，则x的值是－2D．f (x)<1的解集为(－1，1)(3)(2022·江苏海安高级中学月考)f (x＋1)＝x－1，则f (x)＝________．(1)D　(2)BC　(3)x2－2x(x≥1)　[(1)对于A，f (x)＝x2x＝x(x≠0)，二者定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数；对于B，f (x)＝x+2·x-2＝x2-4(x≥2)，二者定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数；对于C，f (x)＝x2＝|x|，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；对于D，f (x)＝|x－2|＝x-2，x≥2，2-x，x<2， 二者定义域、对应法则均相同，是同一函数．故选D．(2)函数f (x)＝x2，-2≤x<1，-x+2，x≥1， 定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当－2≤x<1时，令x2＝2，解得x＝－2或x＝2(舍去)；当x≥1时，令－x＋2＝2，解得x＝0(舍去)，所以x＝-2，故C正确；当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC．(3)令x＋1＝t(t≥1)⇒x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f (t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f (x)＝x2－2x(x≥1)．] 类型2　函数图象的画法及应用1．利用函数的图象可以直观观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养．【例2】　已知f (x)是R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝－x2＋2x＋2．(1)求f (－1)；(2)求f (x)的解析式；(3)画出f (x)的图象，并指出f (x)的单调区间．[解]　(1)由于函数f (x)是R上的奇函数，所以对任意的实数x都有f (－x)＝－f (x)，所以f (－1)＝－f (1)＝－(－1＋2＋2)＝－3．(2)设x<0，则－x>0，于是f (－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2．又因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．因此f (x)＝x2＋2x－2．又因为f (0)＝0，所以f (x)＝x2+2x-2，x<0，0，x＝0， -x2+2x+2，x>0．(3)先画出y＝f (x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f (x)(x<0)的图象，其图象如图所示．由图可知，f (x)的单调递增区间为[－1，0)和(0，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)． 类型3　函数的性质及应用1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．【例3】　已知函数f (x)＝x2+1x．(1)判断f (x)的奇偶性并证明；(2)当x∈(1，＋∞)时，判断f (x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m满足f (3m)>f (5－2m)，求m的取值范围．[解]　(1)函数f (x)是奇函数．证明如下：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝-x2+1-x＝－x2+1x＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数．(2)函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2>1，则f (x1)－f (x2)＝x12+1x1－x22+1x2＝x12x2+x2-x1x22-x1x1x2＝x1-x2x1x2-1x1x2，因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0，所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．(3)由(2)知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得11，且x≠2，所以函数的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)，故选C．]2．若幂函数的图象经过点9，13，则f 19＝(　　)A．13　　　B．3　　　C．9　　　D．8B　[设函数f (x)＝xα，由题意知f (9)＝13，所以9α＝13，即32α＝3-1，所以α＝－12，所以f (x)＝x-12，所以f 19＝19-12＝3．故选B．]3．(2022·河北石家庄外国语学校月考)已知f 1x-1＝x＋1，则f (x)的解析式为(　　)A．f (x)＝1x+2(x≠－2)B．f (x)＝1+xx(x≠0)C．f (x)＝1x＋2(x≠0)D．f (x)＝1x－1(x≠0)C　[令1x-1＝t，即x＝1t＋1，则f (t)＝1t＋1＋1＝1t＋2，由x－1≠0，则t≠0，故f (x)的解析式为f (x)＝1x＋2(x≠0)．故选C．]4．(2021·江苏海门市第一中学期中)若函数f (x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f a2+b25＝(　　)A．1　　　B．72　　C．52　　　D．3D　[∵f (x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，∴f (－x)＝f (x)，即a(－x)4－(a－2b)x＋a－1＝ax4＋(a－2b)x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f (x)＝2x4＋1，∴f a2+b25＝f (1)＝3．故选D．]5．(2021·北京学业水平考试)某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为(　　)A．13.5元 B．18.5元C．20元 D．27.5元B　[根据题意得：60÷15×2.5＋30÷15×3.75＋1＝18.5(元)，则李明应缴纳的停车费为18.5元．故选B．]6．(2022·湖南张家界期末)已知函数y＝f (x)可表示为(　　)则下列结论正确的是(　　)A．f (f (5))＝5B．f (x)的值域是{2，3，4，5}C．f (x)的值域是[2，5]D．f (x)在区间[4，8]上单调递增B　[由给定的对应值表知：f (5)＝4，则f (f (5))＝f (4)＝3，A不正确；函数f (x)的值域是{2，3，4，5}，B正确，C不正确；当40时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D．法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f (4－1)＝f (3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．]8．(2022·浙江台州中学月考)已知定义在R上的函数f (x)满足f (4)＝7，且f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，则f (1)＝(　　)A．－3　　　B．－1　　　C．1　　　D．3C　[因为f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，f (4)＝7，所以令x＝y＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＋1，即2f (2)＝f (4)－1＝6，故f (2)＝3，令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋1，即2f (1)＝f (2)－1＝2，故f (1)＝1．故选C．]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2022·福建宁德市高级中学月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　)A．y＝(x+2)2 B．y＝3x3＋2C．y＝x2x＋2 D．y＝t＋2BD　[函数y＝x＋2的定义域为R，A．y＝(x+2)2的定义域为[－2，＋∞)，定义域不同，故不是同一个函数；B．y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，故是同一个函数；C．y＝x2x＋2＝x＋2，定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一个函数；D．y＝t＋2，定义域为R，故是同一个函数；故选BD．]10．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)A．y＝x B．y＝|x|＋1C．y＝x23 D．y＝－1xBC　[对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝x23 是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，y＝－1x是奇函数，不符合题意．]11．已知函数f (x)，g(x)的定义域都是R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f (x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3，则(　　)A．[f (x)]2－3g(x)是偶函数B．f (x)＝－xC．g(x)＝2x2＋1D．g(2)＝4ABC　[令F(x)＝[f (x)]2－3g(x)，因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以F(－x)＝[f (－x)]2－3g(－x)＝[－f (x)]2－3g(x)＝[f (x)]2－3g(x)＝F(x)，所以F(x)＝[f (x)]2－3g(x)是偶函数，故A正确；因为2f (x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3，　①所以2f (－x)＋3g(－x)＝6(－x)2－2(－x)＋3，因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－2f (x)＋3g(x)＝6x2＋2x＋3，　②由①②，得f (x)＝－x，g(x)＝2x2＋1，故B，C正确；因为g(x)＝2x2＋1，所以g(2)＝8＋1＝9，故D错误．故选ABC．]12．(2022·信达外国语学校月考)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)A．f (－3.9)＝f (4.1)B．函数f (x)的最大值为1C．函数f (x)的最小值为0D．方程f (x)－12＝0有无数个根ACD　[根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f (x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f (x)＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f (x)＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f (x)＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f (x)＝x－2．画函数f (x)＝x－[x]的部分图象如图所示：A：根据定义可知，f (－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f (4.1)＝4.1－4＝0.1，即f (－3.9)＝f (4.1)，所以A正确；B：从图象可知，函数f (x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；C：函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；D：从图象可知y＝f (x)与y＝12的图象有无数个交点，即f (x)＝12有无数个根，所以D正确．故选ACD．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f (x)＝x2-3，x>0，gx，x<0 是奇函数，则f (－3)＝________，f (g(－3))＝________．－6　－33　[因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]14．(2020·江苏高考)已知y＝f (x)是奇函数，当x≥0时，f (x)＝x23，则f (－8)的值是__________．－4　[y＝f (x)是奇函数，可得f (－x)＝－f (x)，当x≥0时，f (x)＝x23，可得f (8)＝823 ＝4，则f (－8)＝－f (8)＝－4．]15．已知函数f (x)＝ax-1，x<1，x2-2ax，x≥1 满足∀x1，x2∈R且x1≠x2，有fx1-fx2x1-x2>0，则实数a的取值范围是________．0，23　[因为对∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有fx1-fx2x1-x2>0成立，所以函数在R上单调递增．所以a>0， a≤1， a-1≤1-2a，解得05时，f (x)min＝f (－5)＝27－10a＝－1，解得a＝145(舍去)；当－5≤a≤5时，f (x)min＝f (－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±3；当a<－5时，f (x)min＝f (5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－145(舍去)．综上，a＝±3．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2022·山东枣庄市第三中学月考)设全集U＝R，不等式2x-3<－1的解集为A，函数y＝-x2+5x-6的定义域为B，求A∩B，A∪B，A∩(∁UB)．[解]　由2x-3<－1，化简可得x-1x-3<0，所以(x－1)(x－3)<0，所以13}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}，A∪B＝{x|15．f (x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2)，所以f (x)的最小值是2．19．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝ax+bx2+1，f (x)为R上的奇函数且f (1)＝12．(1)求a，b；(2)判断f (x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；(3)当x∈[－4，－1]时，求f (x)的最大值和最小值．[解]　(1)∵f (x)为R上的奇函数，∴f (0)＝0，得b＝0，又f (1)＝a+b2＝12，∴a＝1，∴f (x)＝xx2+1．(2)f (x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下：设x2＞x1≥1，∴f (x2)－f (x1)＝x2x22+1－x1x12+1＝x12+1x2-x22+1x1x12+1x22+1＝x12x2-x22x1+x2-x1x12+1x22+1＝x1-x2x1x2-1x12+1x22+1．∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，∴f (x2)－f (x1)＜0，即f (x2)＜f (x1)，∴f (x)在[1，＋∞]上单调递减．(3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f (x)在(－∞，－1]上单调递减，又x∈[－4，－1]，∴f (x)的最大值为f (－4)＝－417，f (x)的最小值为f (－1)＝－12．20．(本小题满分12分)(2022·湖北黄石市第七中学月考)已知幂函数f (x)＝(2m2－5m＋3)xm的定义域为R．(1)求f (x)的解析式；(2)若f (x)>3x＋k－1在[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．[解]　(1)∵f (x)是幂函数，∴2m2－5m＋3＝1，∴m＝12或2．当m＝12时，f (x)＝x12，此时不满足f (x)的定义域为R，∴m＝2，∴f (x)＝x2．(2)f (x)>3x＋k－1即x2－3x＋1－k>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－k，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－k在[－1，1]上的最小值大于0．∵g(x)＝x2－3x＋1－k图象的对称轴为x＝32，故g(x)在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－k－1，由－k－1>0，得k<－1，∴实数k的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x)是定义在R上的增函数，并且满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，f (1)＝4．(1)求f (0)的值．(2)判断函数f (x)的奇偶性．(3)若f (2x＋3)－f (x)＜8，求x的取值范围．[解]　(1)令x＝y＝0, 得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0．(2)因为函数f (x)的定义域为R，令y＝－x，则有f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝0，∴f (－x)＝－f (x)，∴函数f (x)为奇函数．(3)因为f (1)＝4，所以f (2)＝f (1＋1)＝4＋4＝8，又因为f (2x＋3)－f (x)＜8，即有f (2x＋3－x)0)，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴p(2)＝500－k(10－2)2＝372，解得k＝2．∴p(t)＝300+40t-2t2，2≤t<10，500，10≤t≤20， 故t＝5时，p(5)＝500－2×52＝450，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人．(2)由(1)得：Q(t)＝260-16t-256t，2≤t<10，1 344t-60，10≤t≤20， ∵2≤t<10时，Q(t)≤260－216t·256t＝132，当且仅当t＝4时等号成立，∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(4)＝132，而10≤t≤20时，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝74.4，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大，为132元．停车收费标准小型车大型车白天(7：00－19：00)首小时内2.5元/15分5元/15分首小时后3.75元/15分7.5元/15分夜间(19：00(不含)－次日7：00)1元/2时2元/2时注：白天停车收费以15分为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用．x0