人教A版高中数学必修第一册第1章1-3第1课时并集与交集课时学案

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1.3　集合的基本运算第1课时　并集与交集1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(数学运算)2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(直观想象)某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加．如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？知识点1　并集对并集中“或”的理解“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B．用Venn图表示如图所示．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？[提示]　不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．知识点2　交集1．(1)设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．(2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．(1){3，4，5，6，7，8}　(2){x|x>0}　[(1)M∪N＝{3，4，5，6，7，8}．(2)A∪B＝{x|x>0}．]2．已知表示集合M＝{－1，0，1}和P＝{0，1，2，3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．{0，1}　[由题图可知M∩P＝{0，1}．] 类型1　并集概念及其应用【例1】　(1)(2022·浙江高考)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)A．{2}　　B．{1，2}　　C．{2，4，6}　　D．{1，2，4，6}(2)(2021·北京高考)已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)A．{x|0≤x＜1} B．{x|－1＜x≤2}C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x≤2}(1)D　(2)B　[(1)A∪B＝{1，2，4，6}，故选D．(2)如图所示：∴A∪B＝{x|－1＜x≤2}．故选B．]　求集合并集的2种基本方法(1)直接法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．[跟进训练]1．已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为(　　)A．±1　　　B．±3　　　C．－1　　　D．3B　[∵集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，A∪B＝{－1，3，2，9}，∴a2＝9，解得a＝±3，故选B．] 类型2　交集概念及其应用【例2】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．2(1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，∴8∈A，14∈A，∴A∩B＝{8，14}，故选D．]　求两个集合的交集的方法(1)直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．[跟进训练]2．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)A．∅　　　B．S　　　C．T　　　D．ZC　[法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2·(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T，故选C．法二：S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T，故选C．] 类型3　集合交、并集运算的性质及综合应用【例3】　已知集合A＝{x|－32k－1时，k<2，满足A∪B＝A．(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需-30)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|30，所以a的取值范围是a00}，B＝{x|2－x<0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________．{a|a≥2}　[∵A＝{x|x>a}，B＝{x|x>2}，又A∪B＝B，∴A⊆B．∴a≥2．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合A，B的交集和并集的定义分别是什么？[提示]　A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．2．集合A∪B＝A可以得出A与B存在怎样的关系？A∩B＝A呢？[提示]　A∪B＝A⇒B⊆A；A∩B＝A⇒A⊆B．3．A∩∅＝∅吗？A∪∅呢？[提示]　A∩∅＝∅，A∪∅＝A．课时分层作业(四)　并集与交集一、选择题1．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)A．{2}　　　B．{2，3}　　　C．{3，4}　　　D．{2，3，4}B　[因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B．]2．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于(　　)A．{x|－1≤x<3} B．{x|x<3}C．{x|x<－1} D．{x|x>3}B　[A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．∴A∪B＝{x|x<3}，故选B．]3．(2022·上海市浦东复旦附中分校月考)已知集合A＝{1，2，3，4，…，2 014，2 015}，集合B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是(　　)A．2 014 B．2 015C．2 016 D．以上答案都不对A　[因为集合B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，表示整数的3倍且大1的数的集合，A＝{1，2，3，4，…，2 014，2 015}，所以A∩B中的最大元素为2 014，故选A．]4．(多选)满足{1}∪B＝{1，2}的集合B可能等于(　　)A．{2} B．{1}C．{1，2} D．{1，2，3}AC　[∵{1}∪B＝{1，2}，故B中至少含有元素2，且B⊆{1，2}．∴B＝{2}，或B＝{1，2}．故选AC．]5．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　)A．M∩N＝N B．M∪N＝NC．(M∪N)⊆N D．N⊆(M∩N)BC　[∵M⊆N，∴M∩N＝M，M∪N＝N．(M∩N)⊆N，(M∪N)⊆N．故选BC．]二、填空题6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________．{1，3}　[A∩B＝{1，2，3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，2，3}∩{1，3，5}＝{1，3}．]7．若集合A＝{x|－10，即a>－3时，当B＝A＝{1，2}才能满足条件，由根与系数的关系知，1+2＝-2a+1，1×2＝a2-5， 即a＝-52，a2＝7， 无解．故实数a的取值范围是{a|a≤－3}．