人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案设计

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2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算)
楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口面积为b，则楼房的采光率为ba(其中a>b>0)．
问题：显而易见，如果增加窗口面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加窗口面积为m，其中m>0)
知识点 不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a．
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
应用不等式应注意：
(1)一定要搞清不等式成立的前提条件；
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果a>b，c>d，那么a－c>b－d．( )
(2)如果a>b，c>d，那么ac>bd．( )
(3)当x>－3时，一定有1x<－13．( )
(4)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设x>1，－1x>－y>y [∵－1－y>y．]
类型1 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则1a＞1b
C．若a＜b＜0，则ba＞ab
D．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒aab＞bab⇒1b＞1a，
故B为假命题；
a＜b＜0⇒-1b＞-1a＞0a＜b＜0⇒-a＞-b＞0⇒ab＞ba，
故C为假命题；
a＞b⇒b-a＜01a＞1b⇒b-aab＞0⇒ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误．
取a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1，有1a＜1b，故B错误．
取a＝－2，b＝－1，
则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故C错误．]
利用不等式判断正误的两种方法
(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
[跟进训练]
1．(多选)若1a<1b<0，则下面四个不等式成立的有( )
A．|a|>|b| B．bBCD [∵1a<1b<0，∴b|a|，a＋b故选BCD．]
类型2 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea-c2＞eb-d2．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0．
两边同乘以1a-c2b-d2，
得1a-c2＜1b-d2．
又e＜0，∴ea-c2＞eb-d2．
[母题探究]
本例条件不变的情况下，求证：ea-c＞eb-d．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜1a-c＜1b-d，
又∵e＜0，∴ea-c＞eb-d．
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，
∴ac>bc．
又∵e>f，
∴e＋ac>f＋bc，
即f－ac 类型3 不等式性质的应用
【例3】 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与ab的取值范围．
思路导引：2[解] 因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2．
又因为18＜1b＜12，
所以18＜ab＜42，
即18＜ab＜2．
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
提醒：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
[跟进训练]
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b．
[解] (1)－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3．
1．(多选)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
[答案] ACD
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．ab>1 D．a3>b3
D [可利用特殊值排除法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2．∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝ax-a>0，∴ax>a2．∴x2>ax>a2．故选B．]
4．已知60{x－y|27由28回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
[提示] 不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
2．对不等式变形时，要注意什么？
[提示] 对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．
课时分层作业(十一) 等式性质与不等式性质
一、选择题
1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则ac＞bd
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有a＞b＞0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．]
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．a>b⇒ac2>bc2 B．ac>bc⇒a>b
C．a>b ab<0⇒1a>1b D．ab>0a>b ⇒1a>1b
C [当c＝0时，A错误；当c<0时，B错误；当a<0，b<0时，D错误，故选C．]
3．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
A [∵a>b>c，a＋b＋c＝0，
∴a>0且c<0，∴A正确；
B应为ac4．若1A．－3C．－3C [∵－4又15．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是( )
A．a＞b⇒a2b＞ab2 B．a>|b|⇒a2>b2
C．a>b⇒a3>b3 D．|a|>b⇒a2>b2
BC [对于A，当a＞0，b＜0时不成立；选项B一定成立；对于C，当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·a+b22+34b2>0成立；对于D，当b<0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2．]
二、填空题
6．能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为________．
1，－1(答案不唯一) [由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但1a>1b，故答案可以为1，－1．(答案不唯一)]
7．若828．给出以下四个命题：
①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒1a＞1b；④a＜b＜0⇒1a-b＞1a．其中真命题的序号是________．
②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；
②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得1a＞1b成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故1a-b＜1a，④不成立．]
三、解答题
9．(1)a(2)已知a>b，1a<1b，求证：ab>0．
[证明] (1)由于ba－ab＝b2-a2ab＝b+ab-aab，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴b+ab-aab<0，故ba(2)∵1a<1b，∴1a－1b<0，即b-aab<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0．
10．(多选)若正实数x，y满足x>y，则有下列结论，其中正确的是( )
A．xyy2
C．yx0) D．1x<1x-y
BCD [A中，由于x，y为正实数，且x>y，两边乘以y得xy>y2，故A选项错误；
B中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B选项正确；
C中，由于x，y为正实数，且x>y，m>0，所以y(x＋m)－x(y＋m)＝m(y－x)<0，则y(x＋m)D中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x>x－y>0，取倒数得0<1x<1x-y，故D选项正确．故选BCD．]
11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0～1之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化( )
A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小
C．“屏占比”变大 D．变化不确定
C [设升级前“屏占比”为ba，升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0，m>0)，因为b+ma+m－ba＝a-bmaa+m>0，所以该手机“屏占比”和升级前比变大．故选C．]
12．已知－12≤α<β≤12，则α-β2的取值范围是________．
－12≤α-β2<0 [∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<β2≤14．
∴－14≤α2<14，①
－14<β2≤14，∴－14≤－β2<14．②
由①＋②得－12≤α-β2<12．
又知α<β，∴α－β<0．∴－12≤α-β2<0．]
13．设a，b为正实数，则下列命题中正确的是______．(填序号)
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若1b－1a＝1，则a－b<1；
③若|a－b|＝1，则|a－b|<1．
① [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝1a+b⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则1a+b≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝34，则a－b>1．
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1．]
14．已知三个不等式：①ab>0；②ca>db；③bc>ad．以其中两个作条件，余下一个为结论，能组成哪几个正确的不等式命题？
[解] 由②可知ca－db>0，∴bc-adab>0，若③式成立，即bc>ad，则bc－ad>0，∴ab>0，故由②③⇒①正确；
由①ab>0得1ab>0，不等式bc>ad两边同乘1ab，得bcab>adab，∴ca>db，故由①③⇒②正确；
由②得ca－db>0，∴bc-adab>0，若①成立，则bc>ad，故由①②⇒③正确．
综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①．
15．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．
[解] 法一：设u＝a＋b，v＝a－b，
得a＝u+v2，b＝u-v2，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v．
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6．
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10．
法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b．
∴x+y=4，x-y=-2，∴x=1，y=3．
又1≤a+b≤4， -3≤3a-b≤6，
∴－2≤4a－2b≤10．