人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第2课时函数的最大(小)值课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第2课时函数的最大(小)值课时学案，共15页。
第2课时　函数的最大(小)值1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？知识点　函数最大值与最小值函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标．在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一个？[提示]　不能．若只有(1)，则M不一定是最大值，如f (x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f (x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值．而最大值的核心就是不等式f (x)≤M，故也不能只有(2)．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．－1　2　[由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．] 类型1　图象法求函数的最值(值域)【例1】　已知函数f (x)＝3-x2，x∈-1，2，x-3，x∈2，5． (1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解]　(1)图象如图所示：(2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．　图象法求最值的基本步骤[跟进训练]1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　)A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值B　[f (x)的图象如图中实线所示，f (x)的最大值是1，故选B．] 类型2　单调性法求函数的最值(值域)【例2】　已知函数f (x)＝32x-1．(1)证明：函数f (x)在12，+∞上单调递减；(2)求函数f (x)在[1，5]上的最值．[解]　(1)证明：∀x1，x2∈12，+∞，且x2>x1>12，有f (x1)－f (x2)＝32x1-1－32x2-1＝6x2-x12x1-12x2-1．由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以函数f (x)＝32x-1在区间12，+∞上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x)在[1，5]上单调递减，因此，函数f (x)＝32x-1在区间[1，5]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13．　函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝2x+1x+1．(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1