高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案，共16页。
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，掌握它们的性质．(直观想象)
3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数解析式的特征：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
知识点2 五个幂函数的图象与性质
(1)在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x-1的图象如图所示：
(2)五个幂函数的性质
对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当αc>b>aB．a>b>c>d
C．d>c>a>bD．a>b>d>c
(2)已知幂函数f (x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f (x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
(1)B [令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．]
(2)[解] 因为f (x)＝xα的图象过点P2，14，
所以f (2)＝14，即2α＝14，
得α＝－2，即f (x)＝x-2，
f (x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x12或y＝x3)来判断．
[跟进训练]
2．如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝x2B．f (x)＝1x
C．f (x)＝x12D．f (x)＝x-2
B [∵幂函数f (x)＝xα的图象过④⑧部分，∴f (x)＝xα在第一象限内单调递减，∴α12，∴只有B项符合题意．]
类型3 幂函数性质的综合应用
【例3】 (源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小：
(1)1.13，0.893；
(2)2.112，212，1.812；
(3)121.3，1，313．
思路导引：所给幂的特征 数学建模 构造幂函数逻辑推理幂函数的单调性比较大小
[解] (1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
(2)因为函数y＝x12在区间[0，＋∞)上是增函数，又2.1>2>1.8，所以2.112>212>1.812．
(3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1＝11.3，12113＝1．于是121.3130.5．
(2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－23-35-1．
1．(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝xB．y＝x3
C．y＝3xD．y＝x-1
ABD [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．]
2．下列不等式成立的是( )
A．13-12>12-12B．3423322D．8-78