高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时导学案及答案，共12页。

2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(数学运算)
某国国家统计局有关数据显示，该国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2019年为221.59亿元，2020年、2021年、2022年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2019年的经费支出为基础，预测2023年及以后各年的经费支出吗？
知识点1 分数指数幂的意义
知识点2 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0．( )
(2)523＝53．( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12．( )
(4)amn可以理解为mn个a相乘．( )
(5)53是一个确定的实数．( )
(6)233＝8． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
2．计算：813＝________；4-12＝________．
2 12 [813＝2313＝2；4-12＝14＝12．]
类型1 根式与分数指数幂的互化
【例1】 (源自苏教版教材)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2a；(2)1a3；(3)aa．
[解] (1)a2a＝a2a12＝a2+12＝a52．
(2)1a3＝1a32＝a-32．
(3)aa＝(aa)12＝(aa12)12＝(a32)12＝a34．
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟进训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·3a2；
(2)a-4 b23ab2(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·3a2＝a3·a23＝a3+23＝a113 ．
(2)a-4 b23ab2＝a-4 b2·ab213
＝a-4b2a13 b23 ＝a-113 b83 ＝a-116b43 ．
类型2 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 化简求值：
(1)0.02713－61412 ＋25634＋(22)23－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)23a÷46ab·3b3．
[解] (1)原式＝(0.33)13－52212 ＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715．
(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)
＝－13a-3-(-4)b-2-(-2)c-1
＝－13ac-1＝－a3c．
(3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)
＝12a13－16b-16·3b32＝32a16b43．
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[跟进训练]
2．计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)(23m3)23；
(2)aπ3a2π3a－π．
[解] (1)原式＝(23·m32)23＝26·m3＝64m3．
(2)原式＝aπ3＋2π3-π＝a0＝1．
类型3 条件求值问题
【例3】 已知a12+a-12＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
思路导引：a12 +a-12 平方 a+a-1 平方 a2+a-2
[解] (1)将a12+a-12＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14．
(2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．
[母题探究]
1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
[解] 令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a-1＝±83．
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
[解] 由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±83×14＝±1123．
解决条件求值问题的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[跟进训练]
3．已知a12-a-12＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
[解] ∵a12-a-12＝m，
∴a12-a-12 2＝a＋a-1－2＝m2，
即a＋a-1＝m2＋2．
∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．
1．把根式aa化成分数指数幂是( )
A．(－a)32 B．－(－a)32
C．－a32 D．a32
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，故选D．]
2．计算π3-33的结果是( )
A．π B．π C．－π D．1π
[答案] D
3．已知x12＋x-12＝5，则x2+1x的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
B [∵x12＋x-12＝5，∴x＋x-1＝23，即x2+1x＝23．故选B．]
4．计算：2350+2-2 ×214-12 －(0.01)0.5＝________．
1615 [原式＝1＋14×4912 -110012 ＝1+16-110＝1615．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．nam用分数指数幂如何表示？
[提示] nam＝amn．
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示] (1)asar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
3．已知a+1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？
[提示] 设a+1a＝m(m＞0)，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝n，则n＝m2－2，∴m＝n+2．即a+1a＝n+2．
课时分层作业(二十七) 指数幂及其运算
一、选择题
1．将222化为分数指数幂为( )
A．232 B．234 C．274 D．278
D [222＝22×212＝2×23212
＝2×234＝27412＝278．]
2．计算：(－27)23×9-32＝( )
A．－3 B．－13 C．3 D．13
D [－2723×9-32＝(－3)323×32-32
＝(-3)2×3-3＝9×127＝13．故选D．]
3．若y-1y＝m，则1+y2y的结果是( )
A．m2＋2 B．m2－2
C．m＋2 D．m－2
A [m2＝y-1y2＝y+1y－2，
而1+y2y＝1y＋y＝m2＋2，故选A．]
4．下列运算中正确的是( )
A．2-π2＝2－π B．a-1a＝-a
C．(m14n-38)8＝m2n3D．x3-23+2＝x9
C [对于A，2－π<0，所以2-π2＝π－2，
错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，
则a-1a＝－(－a)·1-a＝--a，错误；
对于C，(m14n-38)8＝(m14)8(n-38)8＝m2n3，正确；
对于D，(x3-2)3+2＝x9-2＝x7，错误．故选C．]
5．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．6y2＝y13y<0
B．x-34＝41x3(x>0)
C．x-13＝-3x(x≠0)
D．3-x234＝x12(x>0)
BD [A选项，由于y<0，所以6y2＝-y13y<0，A选项错误；
B选项，x-34＝1x34 ＝41x3(x>0)，B选项正确；
C选项，x-13＝31x(x≠0)，C选项错误；
D选项，3-x234＝x2334＝x12x>0，D选项正确．
故选BD．]
二、填空题
6．已知3a＝2，3b＝15，则32a－b＝________．
20 [32a-b＝32a3b＝3a23b＝2215＝20．]
7．已知x>0，则3xx＝________．
x12 [∵x>0，∴3xx＝3x·x12 ＝3x32 ＝x12．]
8．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
14 215 [由题意可知α＋β＝－2，αβ＝15，
∴2α·2β＝2α＋β＝2-2＝14；(2α)β＝2αβ＝215．]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)481×923 ；
(2)23×31.5×612；
(3)0.000 1-14 +2723－4964-12＋19-1.5．
[解] (1)原式＝34×34312 14＝34+2314＝314314＝376＝363．
(2)23×31.5×612
＝2×312×3213×3×2216
＝21-13 +13×312 +13+16＝2×3＝6．
(3)原式＝0.14-14 +3323－782-12＋132-32
＝0.14×-14+33×23－782×-12＋132×-32
＝0.1-1＋32－78-1＋13-3
＝10＋9－87＋27＝3147．
10．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为( )
A．2.56厘米 B．5.12厘米
C．10.24厘米 D．20.48厘米
C [0.01×210＝10.24(厘米)．]
11．已知ab＝－5，则a-ba＋b-ab的值是( )
A．25 B．0
C．－25 D．±25
B [由题意知ab<0，a-ba＋b-ab＝a-aba2＋b-abb2＝a5a2＋b5b2＝a5a＋b5b＝0．故选B．]
12．(多选)(2022·江苏赣榆智贤中学月考)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有( )
A．a2＋a-2＝7B．a12-a-12＝±1
C．a12+a-12＝±5D．a32+a-32＝25
ABD [a＋a-1＝3两边平方得：(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，A正确；
a12-a-122＝a－2＋a-1＝3－2＝1，
因为a12，a-12的大小不确定，所以a12-a-12＝±1，B正确；
a12+a-122＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5，
因为a12>0，a-12>0，所以a12+a-12＝5，C错误；
由立方和公式可得：
a32+a-32＝a123+a-123
＝a-12+a12(a－1＋a-1)＝5×(3－1)＝25，
所以D正确．故选ABD．]
13．设2x＝8y+1，9y＝3x-9，则x＋y＝________．
27 [由2x＝8y+1，得2x＝23y+3，
所以x＝3y＋3．①
由9y＝3x-9，得32y＝3x-9，所以2y＝x－9．②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27．]
14．已知a2x＝3，求a3x+a-3xax+a-x的值．
[解] 原式＝ax+a-xa2x-axa-x +a-2xax+a-x＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋13＝73．
15．比较下列值的大小．
(1)2，33；
(2)-12-1，2-12，12-12，2-1．
[解] (1)法一：∵2＝68，33＝69，∴2<33．
法二：∵233＝6869＝689<1，∴2<33．
(2)因为-12-1＝-2，2-12＝22，12-12＝2，2-1＝12，所以2>22>12>－2．
故12-12>2-12>2-1>-12-1．分数指数幂
正分数指数幂
规定：amn ＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a-mn ＝1amn ＝1nam (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义