高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时导学案及答案，共14页。

2．学会用指数函数的图象和性质比较函数值的大小．(逻辑推理)
分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝12x的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质．
知识点 指数函数的图象和性质
指数函数图象的其他特征：在y轴右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函数．( )
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数．( )
(3)所有的指数函数图象过定点(0，1)．( )
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
类型1 指数函数的图象
【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
[跟进训练]
1．已知0
A B C D
C [由于0 类型2 指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|．
(1)(－1，－1) [因为y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的图象过定点(－1，－1)．]
(2)[解] 利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象．如图所示．
① ②

③ ④ ⑤
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[跟进训练]
2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)要使g(x)＝3x+1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．t≤－1B．t<－1
C．t≤－3D．t≥－3
(1)D (2)C [(1)由于f (x)在R上单调递减，所以0又00，所以b<0，故选D．
(2)∵函数g(x)＝3x+1＋t的图象过定点(0，3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3．]
类型3 利用指数函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1 <0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0 比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小时，要按底数a>1和0[跟进训练]
3．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73B．1223>2-43
C．1.90.3＞0.93.1D．2334>3423
BC [对于A，∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5<1.73，故A错误；对于B，1223 ＝2-23，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－23>-43 ，∴1223＝2-23 >2-43，故B正确；对于C，∵1.90.3＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝23x在R上单调递减，且34>23，∴2334<2323，又函数y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，且23<34，∴2323<3423，∴2334<2323<3423，故D错误．故选BC．]
1．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝13x，∴B选项正确．]
2．函数f (x)＝πx与g(x)＝1πx的图象关于( )
A．原点对称B．x轴对称
C．y轴对称D．直线y＝－x对称
C [设点(x，y)为函数f (x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝1πx的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f (x)＝πx与g(x)＝1πx的图象关于y轴对称．]
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．bC [∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6．
即b4．函数f (x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
(－1，2) [∵y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，
∴令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝2．
故f (x)＝3－ax+1的图象恒过定点(－1，2)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，图象的高低与a的取值有何关系？
[提示] 指数函数y＝ax的图象如图所示．在第一象限内，底数a自上向下依次递减．
图中底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．
2．比较幂的大小的常用方法有哪些？
[提示]
课时分层作业(二十九) 指数函数的图象和性质
一、选择题
1．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a<0，b<0B．a<0，b>0
C．01D．0C [结合指数函数图象的特点可知01．]
2．对任意实数a<1且a≠0，关于x的函数y＝(1－a)x＋4图象必过定点( )
A．(0，4)B．(0，1)
C．(0，5)D．(1，5)
C [∵a<1且a≠0，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数f (x)＝(1－a)x是指数函数，过定点(0，1)，则y＝(1－a)x＋4过定点(0，5)．故选C．]
3．函数y＝ax与y＝xa的图象如图所示，则实数a的值可能是( )
A．2 B．3 C．12 D．13
D [显然a>0．由y＝ax>0，知①是函数y＝ax的图象，②是函数y＝xa的图象．
由函数y＝ax的图象可知0由②知，函数y＝xa在x<0时有意义，排除C，故选D．]
4．(2022·山东淄博月考)下列各组不等式正确的是( )
A．2.30.7>0.83.1B．0.7-2.5>0.7-2.9
C．1.90.3>1.90.6D．2.70.9<2.70.3
A [对于A，由于2.30.7>2.30＝1，0.83.1<0.80＝1，故2.30.7>0.83.1，故正确；对于B，由于y＝0.7x在R上为减函数，所以0.7-2.5<0.7-2.9，故错误；对于C，由于y＝1.9x在R上为增函数，所以1.90.3<1.90.6，故错误；对于D，由于y＝2.7x在R上为增函数，所以2.70.9>2.70.3，故错误．故选A．]
5．(多选)若a>1，－1A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
ABC [∵a>1，且－1故函数y＝ax＋b的图象一定过第一、二、三象限．故选ABC．]
二、填空题
6．函数f (x)＝2·ax-1＋1的图象恒过定点________．
(1，3) [令x－1＝0，得x＝1，f (1)＝2×1＋1＝3，
所以f (x)的图象恒过定点(1，3)．]
7．若x<0时，指数函数y＝(a2－1)x的值总是小于1，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞) [由若x<0时，y＝(a2－1)x的值总是小于1可得，f (x)为单调递增的指数函数，故a2－1>1，解得a>2或a<－2，则实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
8．若函数y＝3x-1＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(结果用区间表示)
-∞，-13 [函数y＝3x-1＋m的图象是由函数y＝3x-1的图象向上(m>0)或向下(m<0)平移|m|个单位长度得到的，
因为函数y＝3x-1＋m的图象不经过第二象限，
所以只需将函数y＝3x-1的图象向下平移大于或等于13个单位长度即可，所以m≤－13，即m∈-∞，-13．]
三、解答题
9．已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝13x+1＋2的图象？并画出相应图象．
[解] y＝13x+1＋2＝3－(x+1)＋2．作函数y＝3x关于y轴的对称图象，得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)＋2＝13x+1＋2的图象，如图所示．
10．(2022·浙江宁波高一期中)函数y＝x·12xx的图象为( )
A B
C D
D [由题可得函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x>0时，y＝x·12xx＝12x，函数单调递减，此时0当x<0时，y＝x·12x-x＝－12x，函数单调递增，此时y<－1，排除B．故选D．]
11．对于每一个实数x，f (x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值等于( )
A．1B．0
C．－1D．无最大值
A [作出f (x)的图象，
由图可知，f (x)最大值为f (0)＝1．
故选A．]
12．若方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
aa≥1或a＝0 [作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象只有一个交点，则a≥1或a＝0．
]
13．已知实数a，b满足等式12a＝13b，给出下列五个关系式：①0①②⑤ [作y＝12x与y＝13x的图象(图略)．
当a＝b＝0时，12a＝13b＝1；
当a当a>b>0时，也可以使12a＝13b．
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④．]
14．比较下列各值的大小：4313，223，-233，3412．
[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：-233；
(2)大于1的数：4313，223；
(3)大于0且小于1的数：3412．
(2)中，4313<213<223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝43x，y＝2x的图象，再分别取x＝13，x＝23，比较对应函数值的大小，如图)，
故有-233<3412<4313<223．
15．已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f (x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f (x)的图象如图②所示，|f (x)|＝m有两个实数解，求m的范围．
① ②
[解] (1)由f (x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b<0，即b<－1，所以b的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由图②可知，y＝|f (x)|的图象如图所示．
由图象可知使|f (x)|＝m有两解的m的取值为0a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0，1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称