人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案，共19页。
4.5.3　函数模型的应用1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对数增长．知识点　常见函数模型思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　)(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． (　　)(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型． (　　)(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3) ×　(4) × 类型1　利用已知函数模型解决实际问题【例1】　(2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)A．72　　　B．74　　　C．76　　　D．78B　[由于L＝L0DGG0，所以L＝0.5×DG18，依题意0.4＝0.5×D1818，则D＝45，L＝0.5×45G18．由L＝0.5×45G1818log4525＝18lg5-lg2lg5-2lg2＝181-2lg21-3lg2≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故选B．]　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．[跟进训练]1．(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y＝mnx(其中m，n为非零常数)．当经过28个月时，这种可降解塑料的分解率为10%，当经过56个月时，这种可降解塑料的分解率为50%，则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据：取lg 2＝0.3)(　　)A．86个月　　B．80个月　　C．68个月　　D．60个月C　[由题意得0.1＝mn28，0.5＝mn56， 得m＝0.02，n＝5128 ， 所以y＝0.02×5x28．令y＝0.02×5x28＝1，得5x28＝50，所以x＝28log550＝28(log525＋log52)＝282+lg2lg5＝282+lg21-lg2＝68．故选C．] 类型2　自建确定性函数模型解决实际问题【例2】　(2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12]时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40]时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(00.2时，把(0.2，1)代入到y＝18x-a中可得180.2-a＝1，∴a＝0.2，即y＝18x-0.2，故B错误；令18x-0.21315，故C错误，D正确．故选D．]5．(多选)假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　)A．2023年 B．2024年C．2025年 D．2026年CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800，即1.2n>2.56，∴n lg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2，∴n>lg28-2lg1.2≈8×0.301-20.079≈5.16，∵n∈Z，∴n≥6，即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元．故选CD．]二、填空题6．牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3 000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3 ≈0.477)188　[设经过x个周期后细菌含量超标，即3 000×2x>2 000 000，即2x>2 0003，所以x>log22 0003＝lg2000-lg3lg2＝lg2+3-lg3lg2≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．]7．(2022·吉林长春十一中期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，那么10 h后还剩________的污染物．81%　[由题意可知，0.9P0＝P0e-5k，所以e-5k＝0.9．所以10小时后污染物含量P＝P0e-10k＝P0(e-5k)2＝P0×0.92＝0.81P0，即10小时后还剩81%的污染物．]8．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．④　[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．]三、解答题9．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足y＝kax＋25(k∈R，0