人教A版高中数学必修第一册第5章5-3第2课时公式五和公式六课时学案

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第2课时　公式五和公式六1．了解公式五和公式六的推导方法．(逻辑推理)2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)观察单位圆，回答下列问题：(1)角α与角π2－α，角α与角π2＋α的终边有什么关系？(2)角α与角π2－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角π2＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？知识点　诱导公式五、六诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．如何由公式四及公式五推导公式六？[提示]　sin π2+α＝sin π-π2-α＝sin π2-α＝cos α．cos π2+α＝cos π-π2-α＝－cos π2-α＝－sin α．(1)已知sin α＝13，则cos π2-α＝________；(2)若α∈0，π2，sin π2+α＝12，则cos α＝________．(1)13　(2)12　[(1)∵sin α＝13，∴cos π2-α＝sin α＝13．(2)∵α∈0，π2，sin π2+α＝cos α＝12，∴cos α＝12．] 类型1　利用诱导公式化简【例1】　化简：tan 2π-αsin -2π-αsin 3π2+αsin α-πcos 3π2-α．[解]　原式＝tan -αsin -αsin π+π2+αsin -π-αcos π+π2-α＝-tanα-sinα-sin π2+α-sin π-α-cos π2-α＝tanαsinα-cosα-sinα-sinα＝－tanαsinαcosαsinαsinα＝－1．　三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．[跟进训练]1．化简：cosα-πsinπ-α·sin α-π2cos π2+α．[解]　原式＝cos-π-αsin α·sin -π2-α·(－sin α)＝cosπ-αsinα·-sinπ2-α(－sin α)＝-cosαsinα·(－cos α)(－sin α)＝－cos2α．类型2　利用诱导公式求值【例2】　(源自苏教版教材)已知cos (75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α) 的值．[解]　由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，则sin (75°＋α)<0．又cos (75°＋α)＝13，所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－1-cos275°+α＝－1-19＝－223．　利用互余(互补)关系求值的步骤(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．[跟进训练]2．已知cos π6-α＝23，求下列各式的值：(1)sin π3+α；(2)sin α-2π3．[解]　(1)sin π3+α＝sin π2-π6-α＝cos π6-α＝23．(2)sin α-2π3＝sin -π2-π6-α＝－sin π2+π6-α＝－cos π6-α＝－23． 类型3　诱导公式的综合应用【例3】　已知f (α)＝sin π-αcos 3π-αcos 3π2-αcos π2+αsinπ+α．(1)若α＝－13π3，求f (α)的值；(2)若α为第二象限角，且cos α-π2＝35，求f (α)的值．[解]　(1)∵f (α)＝sin π-αcos 3π-αcos 3π2-αcos π2+αsin π+α＝sinα-cosα-sinα-sinα-sinα＝cos α，∴f -13π3＝cos -13π3＝cos π3＝12．(2)∵cos α-π2＝35，∴sin α＝35．∵α为第二象限角，∴f (α)＝cos α＝－1-sin2α＝－45．　诱导公式综合应用要“三看”一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看名：一般是弦切互化．三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．[跟进训练]3．在△ABC中，已知sin A+B-C2＝sin A-B+C2，试判断△ABC的形状．[解]　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．又sin A+B-C2＝sin A-B+C2，∴sin π-2C2＝sin π-2B2，∴sin π2-C＝sin π2-B，∴cos C＝cos B，又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．1．已知sin α＝513，则cos π2+α等于(　　)A．513　　　B．1213　　　C．－513　　　D．－1213C　[cos π2+α＝－sin α＝－513．]2．(多选)下列与sin θ的值相等的是(　　)A．sin (π＋θ) B．sin π2-θC．cos π2-θ D．cos 3π2+θCD　[sin (π＋θ)＝－sin θ；sin π2-θ＝cos θ；cos π2-θ＝sin θ；cos 3π2+θ＝sin θ．故选CD．]3．已知sin α+π4＝13，则cos π4-α的值为(　　)A．223　　　B．－223　　　C．13　　　D．－13C　[cos π4-α＝cos π2-α+π4＝sin α+π4＝13．]4．化简sin (π＋α)cos 3π2+α＋sin π2+αcos (π＋α)＝________．－1　[原式＝(－sin α)sin α＋cos α(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？[提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．2．如何用一个口诀描述诱导公式一～六？[提示]　“奇变偶不变、符号看象限”．课时分层作业(四十七)　公式五和公式六一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos 7π2-α等于(　　)A．－12　　　B．12　　　C．32　　　D．－32A　[∵sin (3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12．∴cos 7π2-α＝cos 3π2-α＝－cos π2-α＝－sin α＝－12．故选A．]2．若sin π2+θ<0，且cos π2-θ>0，则θ是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角B　[由于sin π2+θ＝cos θ<0，cos π2-θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．]3．已知tan θ＝2，则sin π2+θ-cos π-θsin π2-θ-sin π-θ等于(　　)A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D．23B　[∵tan θ＝2，∴sin π2+θ-cos π-θsin π2-θ-sin π-θ＝cosθ+cosθcosθ-sinθ＝2cosθcosθ-sinθ＝21-tanθ＝21-2＝－2．故选B．]4．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)A．1-m2m B．1-m2C．－1-m2m D．－1-m2B　[sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1-cos231°＝1-m2．故选B．5．(多选)在△ABC中，下列四个关系式正确的有(　　)A．sin (A＋B)＝sin C B．cos (A＋B)＝sin CC．sin A+B2＝sin C2 D．cos A+B2＝sin C2[答案]　AD二、填空题6．计算：sin211°＋sin279°＝________．1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．]7．已知cosα＝15，且α为第四象限角，那么cos α+π2＝________．265　[因为cos α＝15，且α为第四象限角，所以sin α＝－1-cos2α＝－265，所以cos α+π2＝－sin α＝265．]8．化简：cos 6π+θsin -2π-θtan 2π-θcos 3π2+θsin 3π2+θ＝________．－tan θ　[原式＝cosθ·sin-θ·tan-θcos π+π2+θ·sin π+π2+θ＝cosθ·-sinθ·-tanθ-cos π2+θ·-sin π2+θ＝cosθ·sinθ·tanθsinθ·-cosθ＝－tan θ．]三、解答题9．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：sin α+3π2·sin 3π2-α·tan2 2π-α·tan π-αcos π2-α·cos π2+α的值．[解]　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－35，且sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，所以sin α＝－35，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1-sin2α＝－45．所以tan α＝34．原式＝-cosα·-cosα·tan2α·-tan αsinα·-sinα＝tan α＝34．10．若f (cos x)＝cos 2x，则f (sin 15°)的值为(　　)A．－32　　　B．32　　　C．－12　　　D．12A　[因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32．故选A．]11．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)A．sin β＝154 B．cos (π＋β)＝14C．tan β＝15 D．tan β＝155AC　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14．若α＋β＝π2，则β＝π2－α．A中，sin β＝sin π2-α＝cos α＝±154，故A符合条件；B中，cos (π＋β)＝－cos π2-α＝－sin α＝－14，故B不符合条件；C中，tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±154，故C符合条件；D中，tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±64，故D不符合条件．故选AC．]12．已知cos (60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos (30°－α)的值为(　　)A．－223 B．223C．－23 D．23A　[由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°．又cos (60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos (30°－α)<0，所以cos (30°－α)＝sin (60°＋α)＝－1-cos260°+α＝－1-132＝－223．故选A．]13．M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos290°的值为________．892　[∵M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos290°，∴M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos289°．又M＝cos289°＋cos288°＋…＋cos21°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，∴2M＝1×89，即M＝892．]14．(2022·山东济南月考)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．(1)求sin π+αcos π2+βcos π-βsin 3π2+α的值；(2)若点A的横坐标为35，求2sin αcos β的值．[解]　(1)∵β＝π2＋α，∴sin β＝sin π2+α＝cos α，cos β＝cos π2+α＝－sin α，∴sin π+αcos π2+βcos π-βsin 3π2+α＝sinαsinβcosβcosα＝－sinαcosαsinαcosα＝－1．(2)∵点A的横坐标为35，∴cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－sin α＝－45，∴2sin αcos β＝2×45×-45＝－3225．15．是否存在角α，β，α∈-π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝2cos π2-β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解]　由条件，得sinα=2sinβ， ①3cosα=2cosβ， ②①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝12，cos2α＝12．又α∈-π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4．将α＝π4代入②，得cos β＝32．又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．名称公式五公式六终边关系角π2－α与角α的终边关于直线y＝x对称角π2＋α与角α的终边垂直图形公式sin π2-α＝cos α，cos π2-α＝sin αsin π2+α＝cos α，cos π2+α＝－sin α