人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案，共15页。
2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模)
你从等式12sin 20°－32cs 20°＝ sin 20°cs 60°－cs 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的变形化简中发现了什么？
知识点 辅助角公式
a sin x＋b cs x＝a2+b2sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝ba，φ所在象限由a和b的符号确定．
若3sin x－cs x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
－π6 [因为3sin x－cs x＝232sinx-12csx＝2sin x-π6，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6．]
类型1 辅助角公式
【例1】 化简下列各式：
(1)y＝3sin x－3cs x；
(2)y＝cs 2x(sin 2x＋cs 2x)；
(3)y＝sin x2+π3 ＋sin x2．
[解] (1)y＝3sin x－3cs x＝23sinx·32-csx·12
＝23sinx·cs π6-csx·sin π6＝23sin x-π6．
(2)y＝cs 2x(sin 2x＋cs 2x)＝sin 2x cs 2x＋cs22x
＝12sin 4x＋1+cs4x2＝12sin 4x＋12cs 4x＋12
＝22sin4x·22+cs4x·22＋12
＝22sin4xcs π4+cs4xsin π4＋12＝22sin 4x+π4＋12．
(3)y＝sin x2+π3＋sin x2＝sin x2cs π3＋cs x2sin π3＋sin x2
＝32sin x2＋32cs x2＝3sin x2·32+cs x2·12＝3sin x2+π6．
将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步骤
(1)将sin x cs x运用二倍角公式化为12sin 2x，对sin2x，cs2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cs(x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cs α＝a2+b2·sin (α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟进训练]
1．化简：(1)2(cs x－sin x)；
(2)315sin x＋35cs x．
[解] (1)2(cs x－sin x)＝2×222csx-22sinx＝2cs π4csx-sin π4sinx＝2cs π4+x．
(2)315sin x＋35cs x＝6532sinx+12csx
＝65sin π3sinx+cs π3csx＝65cs x-π3．
类型2 恒等变换与三角函数的性质
【例2】 已知函数f (x)＝2sin x cs x－23cs2x＋3．
(1)求f (x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)当x∈π2，π时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
思路导引：f (x) 恒等变换 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k 类比y=sinx 研究其性质．
[解] (1)f (x)＝2sin x cs x－23cs2x＋3＝sin 2x－3cs 2x＝2sin 2x-π3，
∴f (x)的最小正周期为2π2＝π．
由2x－π3＝kπ(k∈Z)，可得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，
∴函数f (x)的对称中心为kπ2+π6，0(k∈Z)．
(2)由2x－π3∈2kπ+π2，2kπ+3π2(k∈Z)，
可得x∈kπ+5π12，kπ+11π12(k∈Z)，
∴f (x)的单调递减区间为kπ+5π12，kπ+11π12(k∈Z)．
(3)当x∈π2，π时，2x－π3∈2π3，5π3，
∴2x－π3＝2π3，即x＝π2时，函数f (x)取得最大值，最大值为3．
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cs ωx＋k的形式：如将sin x cs x运用二倍角公式化为12sin 2x，利用降幂公式sin2x＝1-cs2x2，cs2x＝1+cs2x2将解析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式a sin α＋b cs α＝a2+b2·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin x4cs x4＋3cs x2，求函数f (x)的周期、最大值和最小值．
[解] 因为f (x)＝sin x2＋3cs x2
＝12+3212sin x2+32cs x2＝2sin x2+π3．
所以f (x)的周期T＝2π12＝4π．
当sin x2+π3＝1时，f (x)取得最大值2；
当sin x2+π3＝－1时，f (x)取得最小值－2．
类型3 三角函数在实际问题中的应用
【例3】 在扇形OPQ中，OP＝R，圆心角∠POQ＝π3，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈0，π6，
在Rt△MOE中，ME＝R sin α，OM＝R cs α，
在Rt△ONH中，NHON＝tan π6，得ON＝3NH＝3R sin α，
则MN＝OM－ON＝R(cs α－3sin α)．
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cs α－3sin α)
＝R2(sin 2α＋3cs 2α－3)＝2R2sin 2α+π3－3R2，
由α∈0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，
所以当2α＋π3＝π2，
即α＝π12时，Smax＝(2－3)R2．
所以矩形面积的最大值为(2－3)R2．
用三角函数解实际问题应注意以下三点
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
(2)注意实际问题中变量的范围；
(3)重视三角函数有界性的影响．
[跟进训练]
3．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解] 如图，设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝R sin α，OB＝R cs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cs α
＝R(sin α＋cs α)＋R＝2R sin α+π4＋R．
∵0