江西省新余市实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试卷

这是一份江西省新余市实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了三棱柱中，为棱的中点，若，则等内容，欢迎下载使用。

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一､单选题
1.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A.-3 B.-4 C.3 D.4
2.设是椭圆上一点，到两焦点的距离之差为2，则是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
3.已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.直线与曲线相交于两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角大小等于（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过右焦点作轴垂线交椭圆于两点，连结并延长交于点，若为的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
10.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，分别为侧棱的中点，是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）
A.平面 B.平面平面
C. D.平面
11.以下四个命题表述错误的是（ ）
A.直线恒过定点
B.圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
C.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D.已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
12.已知曲线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.若，则是圆
B.若，且，则是椭圆
C.若，则是双曲线，且渐近线方程为
D.若，则是椭圆，其离心率为
三､填空题
13.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为__________.
14.已知椭圆的左､右焦点分别为，点，若点为椭圆上一点，则的最大值为__________.
15.的展开式中的系数是__________.
16.已知分别是双曲线的左右焦点，若，则__________.
四､解答题
17.已知空间三点，设.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
18.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的方程.
19.已知点.
（1）求线段的垂直平分线的直线方程；
（2）若点到直线的距离相等，求实数的值.
20.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名.
（1）若从中任选2人参加两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
（2）这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数.
21.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
22.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点.且，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值.
23.在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
24.已知正方形的边长为为等边三角形（如图1所示）.沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面是棱的中点（如图2所示）.
（1）求证：；
（2）求点与平面的距离.
25.已知抛物线经过点.过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，求证：为定值.
2023年12月6日高中数学练习答案
一､单选题
1.【答案】A 【详解】，故存在实数，使得，
即，故，解得.故选：A
2.【答案】B 【详解】试题分析：两焦点分别为：.
根据椭圆的定义：到两焦点的距离之和等于，
又因为到两焦点的距离之差为2，可求得，到两焦点距离分别为5，3.
所以三角形边长分别为.所以是直角三角形选.
3.【答案】B 【详解】设，由，
由，所以，可得，
所以，即，所以，所以离心率.故选：
4.【答案】B 【详解】由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或，故直线的倾斜角的范围为：，故选：B
5.【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.
【详解】.故选：D.
6.【答案】A 【详解】取的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以，所以，故为异面直线与所成的角，
在正方体中，由分别为的中点，
则，即为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角大小等于.
故选：A
7.【答案】A 【详解】当时，，
所以，则，
则，则.故选：A
8.【答案】C 【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，设中点为，由垂径定理得在圆上，又，由图可知，
的范围为.
故选：C
二､多选题
9.【答案】BCD 【详解】易知，显然，故A错误；
易知：，故B正确；
易知，故C正确；
在上的投影向量，故D正确.故选：BCD
10.【答案】ABC 【详解】因为为底面四边形对角线的交点，
所以为的中点，由是的中点，可得，
因为在平面平面，所以平面正确；
同理可推得平面，而，所以平面平面，正确；
因为平面，故不可能垂直平面错误；
设该正四棱锥的棱长为，则，所以，
因为，所以正确.故选.
11.【答案】BD
【分析】选项，变形后得到，求出定点；选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】选项，变形得到，故，解得，所以恒过定点表述正确；
选项，圆的圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于表述错误；
选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，
其中变形为，圆心为，半径为1，
变形为，圆心为，半径为，
故，解得，
故圆心距为，所以，
解得，
则实数的取值范围为表述正确；
选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故过点向圆引条切线，有，
所以当取得最小值时，取得最小值，
的最小值为，故最小值为表述错误.
故选：BD
12.【答案】BC 【详解】解：对于：若，则，原方程为，此时曲线不存在，故A不正确；
对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；
对于C：若，则是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；
对于D：由已知得，又，所以，则曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故不正确，故选：.
三､填空题
13.【答案】 【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.故答案为：
14.【答案】 【详解】如图所示，由椭圆方程为，则，又点，满足，所以点在椭圆内，
由椭圆定义可知，即，
所以，故答案为：.
15.【答案】126
【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中的系数，然后利用组合数的性质进行求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为：
.
故答案为：126.
16.【答案】9 【详解】根据双曲线方程可得，
再由双曲线定义可得，解得或，
又因为，所以可得.故答案为：9
四､解答题
17.【详解】（1）.
（2）.
因为向量与互相垂直，所以，即，解得或.
18.【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）若直线轴，则关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设，设直线的斜率为，则，
则，所以，化简得.
因为线段的中点为，所以，
所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.
19.【详解】（1）解：线段的中点为，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得.综上所述，或.
20.【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加，选法数为，
②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，所以共有选法种数为；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：，所以共有不同的分配方案数为：.
21.【详解】（1）为等边三角形，，
又四边形为梯形，，则，根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面平面，又平面平面平面；
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，所以两两垂直.
以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设且，则，由三棱锥的体积为得：，所以，
，
设平面的一个法向量为，则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
故.
所以平面与平面的夹角余弦值为：.
22.【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，所以，轨迹的方程为.
（2）由题意直线的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线方程为：坐标为.所以，
设，将直线方程与椭圆方程联立得恒成立，
由韦达定理知，且，
则
.
故（定值）.
【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
23.【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
（2）由余弦定理得，所以，
故.
24.【详解】（1）如图，取中点，连接交于，
为等边三角形，，
又平面平面平面，平面平面，
故平面，
而平面，
又，
又平面平面平面，
平面.
（2）设点与平面的距离为，
是正方形，为等边三角形，，
又平面平面平面，平面平面，故平面，而平面，所以，，
在Rt中，，则易得，
由（1）知，平面为三棱锥的高，
又，得.
故点与平面的距离为.
25.解：（1）因为抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为.
由得.
依题意，解得或.
又与轴相交，故直线不过点.从而.
所以直线斜率的取值范围是.
（2）设.
由（1）知.
直线的方程为.
令，得点的纵坐标为.
同理得点的纵坐标为.
由得.
所以.
所以为定值.
点睛：定点､定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么､“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点､定值问题同证明问题类似，在求定点､定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点､定值显现.