云南省昆明市晋宁区中和中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份云南省昆明市晋宁区中和中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 分值：120分
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1.对于任意实数，关于的方程的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
2.若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是（ ）
A.11B.19C.20D.11或19
3.已知、是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（ ）
A.7B.11C.12D.16
4.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A.B.C.D.
5.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ）
A.2B.4C.8D.16
6.函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，.其中正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.下列汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
8.如图所示，将先向上平移1个单位长度，再绕点按逆时针方向旋转90°，得到.则点的对应点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
9.如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转90°后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的大小是（ ）
A.32°B.64°C.77°D.87°
10.把一副三角板如图甲所示放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转15°得到（如图乙所示），此时与交于点，则线段的长度为（ ）
A.B.C.6D.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.一元二次方程有一个根为，则_______.
12.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是_______.
13.如图所示，在平面直角坐标系中，点，，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转60°后，点的对应点的坐标是_______.
14.二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_______.
15.如图所示，已知抛物线和直线.我们规定：当取任意一个值时，对应的函数值分别为和.若，取和中较小值为；若，记.①当时，；②当时，道的增大而增大；③使得大于4的的值不存在；④若，则.上述结论正确的是_______（填序号）.
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.用适当方法解下列方程.
（1）（2）
（3）（4）
17.已知关于的一元二次方屋：.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与轴交于、两点，则、两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值：若不存在，请说明理由.（友情提示：）
18.如图所示，已知二次函数的图象经过、两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积.
19.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图（1）所示，在中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，使，连接，，求证.”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图（1）的分析，证明了，从而证得，之后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其他条件不变，发现仍然成立，请你就图（2）给出证明.
图（1） 图（2）
20.乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元.那么平均每天就可多售出2件.
（1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？
（2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
21.如图所示，在网格中有一个四边形图案.
（1）请你画出此图案绕点顺时针方向旋转90°、180°、270°后的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点的对应点依次为、、，求四边形的面积；
（3）这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论.
22.在一块长16m宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为2m或12m.如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同.
（1）你认为小明的结果对吗？为什么？
（2）你能帮小颖求出图（2）中的吗？（取3.14，结果精确到0.1）
（3）你还有其他设计方案吗？
23.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点、在轴上，且，抛物线经过、、三点，如图1所示.
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式；
（2）过原点任作直线交抛物线于、两点，如图2所示.
①求面积的最小值；
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C 2.B
3.D【解析】、是关于的一元二次方程的两实数根，，，.方程有两个实数根，...故选D.
4.A 5.B
6.B【解析】①根据二次函数的图象，可知方程无解，所以判别式，故①错误；
②根据二次函数的图象，可知当时，，故②错误；
③根据二次函数的图象，可知当时，，所以，故③正确；
④根据一次函数和二次函数的图象，可知当时，，即，故④正确.
综上所述，正确的结论有③④，共2个.故选B.
7.B 8.D 9.C
10.D【解析】因为，，
所以.则.
因为旋转角15°，所以.
又因为，所以是等腰直角三角形，则，，
因为.所以，则.在中，根据勾股定理可得.故选D.
二、11.0
12.
13.【解析】连接.∵点，，点为线段的中点，，，，.易得.将线段绕点顺时针旋转60°后，，，是等边三角形..
14.【解析】：，∴原抛物线的顶点为.抛物线绕它的顶点旋转180°后开口方向改变，顶点坐标不改变，，∴旋转后的抛物线的函数关系式为y=.抛物线向左平移3个单位，向上平移5个单位后得抛物线，即平移后图象对应的二次函数解析式为.
15.②③【解析】由函数图象可知，当时，，∴此时，故①错误；
当时，.∴此时，且此时随x的增大而增大.∴当时，M随x的增大而增大，故②正确；
∵时，，时，，时，，而的最大值为4，∴得M大于4的x的值不存在，故③正确；
当时，.此时，当，即，解得；当时，，此时，当，即，解得，（舍去）.∴使得的x的值是1或，故④错误.综上，正确的结论有②③.
三、16.（1），
（2），
（3），
（4），
17.（1），原方程有两个不相等的实数根.
（2）存在最小值.最小值为.
18.（1）这个二次函数的解析式为
（2）
19.提示：证.
20.解：（1）童装店降价前每天销售该童装可盈利：（元）.
（2）设每件童装降价元，根据题意，得.
整理.得，
解得，.
要使顾客得更多实惠，
.
答：每件童装应降价20元.
（3）设每件童装降价x元，可获利y元.根据题意，得，
化简，得，
当时，取得最大值，为1250.
答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元.
21.（1）如右图所示.
（2）四边形的面积为34.
（3）（或勾股定理的文字叙述）.
22.（1）小明的结果不对，小路的宽为2米.
（2）.
（3）略
23.解：（1）设抛物线的解析式为.
在等腰中，垂直平分，且，
.
，，.
解得
∴抛物线的解析式为.
（2）①设直线的解析式为，，.
由
可得，
，.
.
.
.
∴当时，取最小值为4.
面积的最小值为4.
②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，
，即，
解得，，，.
，不合题意，舍去，
当时，点，
线段的中点为.
..
∴直线的表达式为：；
当时，点，
线段的中点为.
.
.
∴直线的解析式为.
综上，点，直线的解析式为或点.直线的解析式为.