2024山东省普高大联考高二上学期11月联合质量测评试题数学含解析

这是一份2024山东省普高大联考高二上学期11月联合质量测评试题数学含解析，共30页。试卷主要包含了 已知实数满足方程，则最大值是， 战国时期成书《经说》记载， 苏州有很多圆拱的悬索拱桥等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则、的中点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线，，若，则的值为（ ）
A. B. 6C. 4D.
3. 过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（ ）
A. 5B. 2C. D. 4
4. 已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，则向量可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知实数满足方程，则最大值是（ ）
A. B. C. 0D.
6. 战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或B. C. D.
7. 已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
8. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取）

A. B. C. D. 以上都不对
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A.
B. 是直角三角形
C. 与平行的单位向量的坐标为
D. 可以作为空间的一组基底
10. 在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（ ）
A. 直线与平面所成的角为
B. 二面角的正切值为
C. 到面的距离为
D. 异面直线
11. 已知直线和圆，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，则圆上到直线的距离为的点有四个
12. 已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（ ）
A. 拋物线的准线方程为
B. 若，则直线的斜率为1
C. 若，则直线的方程为
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.
13. 过、两点直线的倾斜角为，那么实数__________.
14. ，，，若共面，则实数__________.
15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为_______.
16. 如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，，，向量.
（1）若，求实数的值；
（2）求向量在向量方向上的投影向量.
18. 已知的顶点，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程.
19. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．
（1）求直线和平面的夹角；
（2）求点到平面的距离．
20. 已知定点，点为圆上的动点.
（1）求的中点的轨迹方程；
（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
21. 如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
山东普高大联考11月联合质量测评试题
高二数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则、的中点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中点坐标公式求解.
【详解】因为，
所以中点
故选：B.
2. 已知直线，，若，则的值为（ ）
A. B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行的条件求解．
【详解】因为，所以，
故选：C.
3. 过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（ ）
A. 5B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】求过圆内一点的最短弦长，可连接该点与圆心，再过该点作这条直线的垂线即得.
【详解】
如图，点在圆内，连接，
过点作直线，分别交圆于两点，则弦长最小，理由如下：
过点作任意直线，分别交圆于两点，过点作于点，
则在中，易得，
因为，而，
故，故弦是过点最短弦，
因为，则最短弦长为.
故选：D.
4. 已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，则向量可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算求解．
【详解】
，
．
故选：D.
5. 已知实数满足方程，则的最大值是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示圆上的点与点的连线的斜率，数形结合可得解.
【详解】的方程可化为，
它表示圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点与点的连线的斜率，
设过圆上点与点的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
可得，即最大值为，
故选：B.

6. 战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出与点关于轴的对称点，分析可知，反射光线经过点，且与圆相切，分析可知，反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在直线的方程为：，根据直线与圆的位置关系可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为，
则反射光线经过点，且与圆相切，
若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，反射光线所在直线的斜率存在，
设反射光线所在直线斜率为，则反射光线所在直线的方程为：，
即，
圆的圆心为，半径，
则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即，
解得：或，
故选：A.
7. 已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解.
【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，
直线的斜率.
由，得，
得，所以，
即，，
，，，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
8. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取）

A. B. C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，可计算出的长，即可得出结论.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，
，由勾股定理可得，即，解得，
所以，圆心坐标为，则圆的方程为，
将代入圆的方程得，
，解得，
（米）.
故选：A.
【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A.
B. 是直角三角形
C. 与平行的单位向量的坐标为
D. 可以作为空间的一组基底
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，结合空间向量模长公式计算A；计算，即可证明，从而判断B；利用计算即可判断C；由，，是否共面即可判断D.
【详解】因为，
所以，所以，选项A正确；
又因为，所以，
所以，所以是直角三角形，选项B正确；
因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误；
假设，，共面，则存在唯一的有序数对使，
即，
所以，此方程组无解，故，，不共面，
故可作为空间一组基底，选项D正确.
故选：ABD.
10. 在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（ ）
A. 直线与平面所成的角为
B. 二面角的正切值为
C. 到面的距离为
D. 异面直线
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线面角的定义判断A，取取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，从而判断B，利用等体积法判断C，利用线面垂直的性质推出矛盾，即可判断D.
【详解】因为面，故为直线与平面所成的角，
又，所以，
故直线与平面所成的角是，故A正确；
取中点为，连接，
因为面，
面，所以、、，，
所以，，，
故为二面角的平面角，
则，故二面角的正切值为，故B错误；
因为，所以，设到面的距离为，
则，解得，故C正确；
若，又面，面，所以，
又，面，所以面，面，
所以，与矛盾，故D错误；
故选：AC.
11. 已知直线和圆，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，则圆上到直线的距离为的点有四个
【答案】BC
【解析】
【分析】将直线方程整理成，即可求出定点，可判断A；利用直线垂直的判断方法计算，即可判断B；根据定点在圆内判断C；借助圆心到直线的距离和半径的关系判断D.
【详解】由直线，整理成，则直线恒过定点，故A错误；
若直线与直线垂直，
则，解得，故B正确；
因为，所以定点在圆内部，
所以直线与圆相交，故C正确；
当时，直线化为，
圆心到直线的距离，圆半径，
因为且，所以圆到直线距离为的点有三个，故D错误.
故选：BC
12. 已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（ ）
A. 拋物线的准线方程为
B. 若，则直线的斜率为1
C. 若，则直线的方程为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据抛物线方程即可判断，对于B，根据求出A点坐标，即可判断；对于C，由可得坐标之间的关系，结合抛物线方程求得坐标，即可判断；对于D，设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，求出相关弦长的表达式，推出，继而证明∽，即可判断.
【详解】对A：由抛物线可得准线方程为，正确；
对B：设A点的坐标为，，则，
所以，又，从而直线的斜率为或，故B错误；
对C：设，
.
又，即，
又或，
当时；
当时，，
此时直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不合题意，舍去，
直线的方程为：，故C正确.
对于D；由题意知的斜率存在，设直线，
则直线，设，
由，即，则，
由于在抛物线内部，必有，所以，
又，
，同理可证：，
，
又∽，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.
13. 过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值．
【详解】过两点的直线的倾斜角为，
则，又.
故答案为：1.
14. ，，，若共面，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可.
【详解】由于共面，则存在，使得，
又，，，故，
故，解得.
故答案为：.
15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
以矩形中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，由题，得，从而可得到本题答案.
【详解】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的标准方程为，
圆锥的底面直径均为4，则半径，侧面积均为
可得，则，即，
所以.

故答案为：
【点睛】关键点点睛： 根据圆锥曲线的定义将问题抽象为平面解析几何问题，关键利用渐近线求出，考查了计算求解能力以及转化能力.
16. 如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】通过证明面得，故与的夹角为；设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹.
【详解】由为边的中点知：且，
易知，而，面，故面，
又面，所以，
故与的夹角为．
设是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，
即为平行四边形，故且，
故轨迹与的轨迹相同.
因为面且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，
设的中点为，则，，
又面，面，所以面，
故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
所以的轨迹长度为.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：①将轨迹转化为的轨迹；
②若的轨迹为圆，则的中点的轨迹也是圆.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，，，向量.
（1）若，求实数的值；
（2）求向量在向量方向上的投影向量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可；
（2）利用投影向量公式计算即可.
【小问1详解】
由题意，，，
因为，
所以，即，
得.
【小问2详解】
由题意，，，
所以向量在向量上上的投影向量为：.
18. 已知的顶点，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出高所在直线的斜率，点斜式求解即可；
（2）判断三角形为直角三角形，可得圆心半径求解.
【小问1详解】
，
直线的斜率，
边上的高所在直线的斜率为2，
边上的高所在直线过点，
边上的高所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
，
即为以角为直角的直角三角形，
故的外接圆以中点为圆心，为半径，
的外接圆的方程为.
19. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．
（1）求直线和平面的夹角；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出，
（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出．
【小问1详解】
解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为，
，
∴为等腰直角三角形，则，
∴直线和平面的夹角为，
【小问2详解】
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量，
由，取，可得，
∴点到平面的距离.
20. 已知定点，点为圆上的动点.
（1）求的中点的轨迹方程；
（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到点的轨迹方程；
（2）当直线的斜率不存在时，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用弦心距，半径，半弦长的关系，即可求解.
【小问1详解】
设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，即，
的中点的轨迹方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入，可得，此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆的半径且，圆心到直线的距离，
，解得，
直线的方程为，即；
综上，直线的方程为或.
21. 如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，先证明平面，然后根据面面垂直的判定得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，先根据线面角算出，然后在利用法向量求二面角的大小
【小问1详解】
如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，

，所以，所以，所以.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.
因为平面，平面，所以.
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，

则，，，
设平面的一个法向量为，
则即令，则，
记直线与平面所成的角为，
则，
解得（负值舍去），即.
设平面的一个法向量为，，，
则即
令，则.
所以.
因此平面与平面所成角的余弦值为.
22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为
【解析】
【分析】（1）由折纸的对称性，可知，从而确定点的轨迹；
（2）（i）设点，，，根据斜率公式分别求出、，结合椭圆方程证明；
（ii）设直线的方程为，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出，根据直线方程即可求出定点.
【小问1详解】
由题意可知，，
故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，
焦距，所以，
因此轨迹方程为.
【小问2详解】
证明：（i）设，，，
由题可知，如下图所示：
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值.
（ii）设直线的方程为，，，
由，得，
所以.
由（i）可知，，
即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
因此直线经过定点.
【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程可得.