初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第1课时导学案

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第1课时导学案，共8页。学案主要包含了知识链接，课堂小结等内容，欢迎下载使用。


学习目标：1. 理解相似三角形的概念.
2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重点、难点)
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算. (重点、难点)
自主学习
一、知识链接
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？
合作探究
要点探究
探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）
操作 如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
(1) 计算的值，它们相等吗？
(2) 任意平移l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？

【要点归纳】一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：若l3∥l4∥l5，则，，，...
【针对训练】如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A. B. C. D.
探究点2：平行线分线段成比例定理的推论
观察与思考
如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，是否依然成比例？
若把直线 n 向左平移到 B1 与 A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段.若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
【要点归纳】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
【针对训练】如图，DE∥BC，，则 ；FG∥BC，，则 .

【典例精析】
例 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？

【针对训练】如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= .

探究点3：判定相似三角形的引理
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？

思考 我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由所学的定理，我们可以证出哪些结论？还需证明什么？
由所学的定理可得,需要证明的是而除了 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，可以怎样做呢？
如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
证明：在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.【解题过程补充完整】

【要点归纳】判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型 “X ”型
【针对训练】1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有__ _对相似三角形.
若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，
则 △A′B′C′与 △ABC 的相似比是 .
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3 cm，5 cm，6 cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，则 △A′B′C′ 的最大边长是 .
二、课堂小结
当堂检测
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1，则 EF 的长为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2 cm，BE=6 cm， BC = 4 cm，则EF 的长为 （ ）
A. 1 cm B.cm C. 3 cm D. 2 cm
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比例式为 ＝ .
4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2其相似比为 .
5. 如图，在 平行四边形ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长．
6. 如图，已知菱形 ABCD 在△AEF的内部，AE=5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 相等 成比例 相似比 .
2. 解：三条边相等，三个角相等.
合作探究
要点探究
探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）
【针对训练】D
探究点2：平行线分线段成比例定理的推论
【针对训练】
【典例精析】解：（1）∵EF∥BC ，∴ ,∴,解得 AF = 4.
（2）∵EF∥BC ，∴，∴，解得 AC =.
∴ FC = AC－AF =.
【针对训练】7.5 6
探究点3：相似三角形的引理
思考 解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴，，
∵ 四边形DEFB为平行四边形，∴ DE=BF.∴，∴△ADE∽△ABC.
【针对训练】1. 3 2. 4:3 3. 24 cm
当堂检测
1. B 2. A 3. ADE ABC
4. 1:20
5. 解：∵ EF∥AB，∴ △DEF ∽ △DAB，又∵DE : EA = 2 : 3，
∴，即，解得 AB = 10.
又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ CD = AB = 10.
6. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，∴CD∥AB.∴ △CDF ∽ △EAF，∴ ，
设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴，解得 x =，∴菱形的边长为cm.