辽宁省朝阳市建平县实验中学等校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学等校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ___________，横线上可以填入的符号有（ ）
A.只有B.只有
C.与都可以D. 与都不可以
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A.4或6或7个部分B.6或7或8个部分
C.4或7或8个部分D.4或6或7或8个部分
4.在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A.第3项B.第4项
C.第5项D.第3项和第4项
5.已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则（ ）
A. B. 或
C.2或3D.
6.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，若关于x的方程在内有两个不同的解，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ）
A.2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增
B.2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201
C.这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828
D.这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年
10.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 在上单调递减D. 在上单调递减
11.已知，，，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
12.如图，棱长为2的正四面体的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线，，上，则（ ）
A.三棱锥的体积为B.直线平面
C.直线与所成的角是45°D. 平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为_______.
14.已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则_______.
15.已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则_______.
16.半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，证明：.
18.（本小题满分12分）
在数列中，，.
（1）求证：为等差数列；
（2）求的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，已知四边形为菱形，平面，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求的长.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件 “了解亚运会项目”， “学生为女生”，据统计，.
（1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?
（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线：经过，，，中的2个点，且焦点为，中的一个点.
（1）求的方程；
（2）判断是否存在定直线，过直线上任意一点P作的两条切线，切点分别为M，N，恒有且直线过的焦点?若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由.
2023～2024学年上学期高三年级12月联考卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 是集合的一个元素，所以，因为，所以，所以横线上可以填入的符号有与都可以.故选C.
2.B ，.故选B.
3.D如图所示，
所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.故选D.
4.B二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选B.
5.D由点，在双曲线上，得则.即，整理得，解得或.当时，，此时方程无解，不满足题意；当时，，而，解得，，满足题意.所以.故选D.
6.A由，得，即，整理得，令，则，解得，因为18°<30°，所以，，所以，故选A.
7.B函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，因为所得函数图象关于原点对称，所以，则有，，因为，所以，所以.因为，所以，由，可得，所以，且，则，所以.故选B.
8.A设，由图象可得，当时，所以.设，由图象可得，当时，所以，因为，所以.设，则，在上单调递减，所以时，所以，，所以，同理可得，，所以.故选A
9.ABD由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497=42201，B正确；因为10×80%=8，所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是.C不正确；由图中数据分析可知，2020年人均同内生产总值的增长为71828-70078=1750（元），是这10年中增长量最小的，D正确.故选ABD.
10.BD对于A，不妨设，，满足题意，此时为偶函数，故A错误；
对于B，，故为偶函数，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以有，，又，在上单调递减，且当时，有，所以由复合函数单调性可知，，在上分别单调递增、单调递减，不妨设，则，，所以在上单调递减，故D正确.故选BD.
11.CD对于A，因为，，，所以，当且仅当时取等号，取得最小值，故A错误；
对于B，，根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；
对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选CD.
12.ACD对于A，易知，可得，，故A正确；
对于B，将正四面体放入正方体中，如图所示，因为，平面，所以与平面不平行，故B错误；
对于C，显然与平行，所以为异面直线与所成的角，又，所以直线与所成的角是45°，故C正确；
对于D，由C选项的分析可知在正方体中，可以得到平面，故D正确.故选ACD.
13. 依题意，，，.
14.341 ∵数列是公比为2的等比数列，，，∴，.
15.-6 因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，.
16. 如图所示为圆锥轴截面，M，N为小球与圆锥侧面的切线上两点，圆锥母线，设内切球的半径为.由题意是等边三角形，则，，所以小球的半径.又，所以，则，解得，则是中点，同理可得是中点，所以，故到的距离为，则上部分球缺的高，上部分，即较小部分球缺的体积为，则较小部分球缺的体积与球的体积之比为.
17.（1）解：由题意，由正弦定理可得，
即，所以.
故，
而，故.
（2）证明：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，即，所以.
因为，所以，则，.
故，
故在中，，所以.
18.（1）证明：由，得.
因为，所以是首项为，公比为-1的等比数列.
则，所以.
则，
故是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）知，
当为偶数时，
；
当为奇数时，.
故
19.（1）证明：因为平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为，平面，
所以平面平面.
（2）解：设交于点O，取中点H，连接，所以，底面.以为原点，以，，分别为x轴，y轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
设，则，，，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得；
，；
设平面的一个法向量为，
则
令，得.
因为平面平面，所以，解得，
故的长为1.
20.解；（1）当时，，定义域为.
，
令，可得，
当变化时，和的变化情况如下：
故函数的单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）因为对恒成立，所以对恒成立，
则解得.
令，可得或，
当时，，
因为，（当且仅当时，）
所以函数在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
和的变化情况如下：
函数在处取得极小值，满足题意；
当时，，和的变化情况如下：
函数在处取得极大值，不满足题意.
综上，实数的取值范围为（1，2）.
21.解：（1）因为，，
所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，
结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为（人）；
女生人数为（人）.
由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
随机变量的分布列如下：
则 .
22.解：（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上，
若，都不在C上，则，都在C上，
得即矛盾，
所以，都在C上，，，焦点坐标为.
若C的焦点为，则，，可得C的方程为；
若C的焦点为，则，，不满足题意.
综上，C的方程为.
（2）由（1）知C的焦点为，假设存在符合条件的直线，
由抛物线C关于x轴对称，可得直线也关于x轴对称，
设，，，
当轴时，由过，得，，
由对称性可知点P在x轴上，知.
又，所以，得，
此时，的方程分别为，，
与联立得，
因为，所以，与都相切，满足题意，
所以直线的方程为.
下面证明对直线上的任意一点，都有，且直线过点.
设直线，的斜率分别为，
则直线的方程为，与联立得：，
所以，整理得，
当时，，，即.
同理可得，.
所以，是关于的方程的两个根，
所以，即，
又，，
所以点，，共线，即直线过的焦点.
综上，存在定直线：，过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，恒有且直线过的焦点.
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
-
-
0
+
单调递减
单调递减
单调递增
0
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
0
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
了解
不了解
合计
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合计
45
55
100
0
1
2
3