天津市部分区2022届高三下学期质量调查（二）数学试题(含答案)

这是一份天津市部分区2022届高三下学期质量调查（二）数学试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合，，，则( )
A.B.C.D.
2、设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
4、为了检查“双减”政策落实效果，某校邀请学生家长对该校落实效果进行评分.现随机抽取100名家长进行评分调查，发现他们的评分都在40—100之间，将数据按，，，分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则在抽取的家长中，评分落在区间内的人数是( )
A.55B.75C.80D.85
5、已知一个圆锥的高为4，底面直径为6，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为( )
A.B.C.D.
6、定义在R上的偶函数满足对任意的，有.若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7、已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上单调递减；
③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①B.②C.①②D.①②③
8、已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9、已知且，函数在R上是单调函数，若关于x的方程恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、i是虚数单位，复数z满足，则__________.
11、在的二项展开式中，含的项的系数是_______.（用数字作答）
12、过点，且与直线相切于点的圆的方程为___________.
13、已知，则的最小值为____________.
三、双空题
14、某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人.已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为_________；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为X，则随机变量X的期望为___________.
15、在中，，，，，，则__________，若M是线段上的一个动点，则的最小值为_______________.
四、解答题
16、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值.
17、如图，在长方体中，，，点E在线段上.
(1)求证：；
(2)当E是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
18、已知椭圆的离心率为，左顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆在第一象限的交点为P，过点A的直线与椭圆交于点Q，若，且（O为原点），求k的值.
19、记是公差不为0的等差数列的前n项和，已知，，数列满足(，)，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
20、设函数，，为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点，且，证明：.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意，集合，，，
可得，所以.
故选：C.
2、答案：B
解析：由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3、答案：D
解析：令，该函数的定义域为R，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
4、答案：B
解析：根据给定的频率分布直方图，可得落在区间内的频率为：，
所以在抽取的家长中，评分落在区间内的人数是人.
故选：B.
5、答案：C
解析：圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示：
设该圆锥的内切球O的半径为r，则，
所以，，
因此，球O的体积为.
故选：C.
6、答案：D
解析：因为函数满足对任意的，，有，
所以函数在上递减，
又函数是定义在R上的偶函数，
所以，，
又，，
所以，
所以，
即.
故选：D.
7、答案：C
解析：因为.
对于①，函数的最小正周期是，①对；
对于②，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，②对；
对于③，将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，
得到的图象，③错.
故选：C.
8、答案：A
解析：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，
因为双曲线，
，
由双曲线的定义可知，，
，
当且仅当点，M，N三点共线时，等号成立，
渐近线方程为，即，且，
此时，
的最小值为，
，，
所以
离心率，
故选：A.
9、答案：A
解析：先分析函数，且
易得，因为，可得图象：
因为函数在R上是单调函数，故只能是减函数，
且，即.故当时，，
结合可得.故，
又关于x的方程恰有2个互异的实数解，
即与的图象恰有2个交点，画出图象：
可得，解得.综上有
故选：A.
10、答案：/
解析：因为，所以
故答案为：.
11、答案：240
解析：根据二项式定理，的通项为，
当时，即时，可得.
即项的系数为240.
故答案为：240.
12、答案：
解析：设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为.
故答案为：.
13、答案：
解析：因为，
所以，
所以，故，且，，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
14、答案：/；/
解析：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率
，
依题意甲成为主持人的概率，
乙成为主持人的概率，
丙成为主持人的概率，
即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为，
所以，则
故答案为：；.
15、答案：1；
解析：由，知：D为中点，E为靠近A的三等分点；
，
，解得：，；
又，为等边三角形，；
设，
，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：1；.
16、答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为，，所以.
因为，，由正弦定理得：，所以.
因为，，所以.
(2)由(1)知：，.
因为，所以
.
由正弦定理得：.
(3)由(1)知：，.
所以.
.
所以.
17、答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：连接，在矩形中，，则四边形为正方形，所以，，
平面，平面，，
，平面，
平面，.
(2)以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
因为，则，
因此，直线与平面所成角为.
(3)设点，其中，
设平面的法向量为，则，，
设平面，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，因为，解得.
因此，若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长为.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得，，
故，
所以，
所以椭圆的方程为；
(2)设直线l与椭圆得另一个交点为M，
设，，，
因为，
则直线的方程为，
联立，消y整理得，
则，
所以，则，
所以，
联立，消y整理得，
则，，
所以，
因为，
所以，
解得，
又，
所以.
19、答案：(1)
(2)证明见解析；
(3)见解析
解析：(1)设等差数列的公差为，，
因为，，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为(，)，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
(3)证明：由(2)得，
故
，
所以.
20、答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)因为，，
所以.
即，，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
(2)由(1)得，.
当时，，则在上无零点.
当时，，则在上有一个零点.
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点.
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点.
(3)证明：由(2)及有两个极值点，，且，
可得，在上有两个零点，且.
所以，
两式相减得，即.
因为，所以.
下面证明，即证.
令，则即证.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故.
又，
所以，
故.