江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的最小值为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
6. 设是定义在上的奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义域为函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设全集，若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
12. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（ ）
A.
B.
C. 为R上的减函数
D. 为奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则函数__________.
14. 是__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.
15. 设，，且，则的最小值是__________.
16. 若集合，则实数的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
（1）求，；
（2）求，.
18. 计算：
（1），
（2）.
19. 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
20. 已知a，b均为正实数.
（1）证明：；
（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.
21. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.

（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；
（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
22. 已知定义在R上的奇函数过原点，且.
（1）求实数的值;
（2）判断在上的单调性并用定义证明;
（3）画出在上的图像.
2023—2024学年第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为，，
故选：D
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的含义
【详解】根据并集的定义得，
故选：A.
3. 函数的最小值为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可.
【详解】函数中，，
由基本不等式可得
当且仅当时，即时取等号，
所以函数的最小值为9.
故选：B.
4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义及性质可以得出答案.
【详解】首先定义域必须关于0对称，C错；不是奇函数，D错；在定义域内不是增函数，B错；
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．
【详解】由得，即，又且，所以，
故选：C．
6. 设是定义在上的奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，.
【详解】由题意是定义在上奇函数，
则由奇函数的性质可得，
解得，
所以，从而.
故选：C.
7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数，求出右边的范围即可得到答案.
【详解】由题意得对恒成立，
设，则在上单调递减，则，
所以，
故选：B.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.
【详解】因为定义域为的函数满足，
所以函数的图象关于对称，所以，
又因为当时，，
所以函数在单调递增，则在单调递减，
因为，
所以，
所以，即，
故选:C,
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设为全集，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解.
【详解】因为，等价于，等价于和，
故A错误，BCD正确；
故选：BCD.
10. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对数运算法则和性质即可判断.
【详解】对于A：，故选项A不正确；
对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；
对于C：，故选项B不正确；
对于D：，故选项D正确；
故选：BD.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，进而可判断选项.
【详解】由题意可知
且和是的两个根，
故，，得，，
A选项：由可判断A正确；
B选项：由得得，故B错误；
C选项：由得，得，得或，
故C正确；
D选项：，故D错误，
故选：AC
12. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（ ）
A.
B.
C. 为R上的减函数
D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断A的正误；令，，判断B的正误；当时，，再令，结合单调性的定义判断C的正误；令判断D的正误.
【详解】因为，
则令，可得，
即，解得，故A正确；
令，，可得，
即，解得，
再令，可得，
即，故B正确；
因，所以，
令，不妨设，
可得，即，
因为，则，则，
可得，即，
所以为R上的增函数，故C错误；
令，可得，
即，整理得，
所以奇函数，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：利用抽象函数的定义通过赋值法，并结合函数单调性、奇偶性的定义才是解题的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则函数__________.
【答案】0
【解析】
【分析】直接赋值代入即可.
【详解】令得，
故答案为：0.
14. 是的__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.
【答案】充分条件
【解析】
【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的判定即可.
【详解】，解得或，则是的充分条件，
故答案为：充分条件.
15. 设，，且，则的最小值是__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是9.
故答案为：9.
16. 若集合，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：对任意的恒成立，分和两种情况，结合二次函数以及判别式分析求解.
【详解】由题意可知：对任意的恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
（1）求，；
（2）求，.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据根式的定义求的定义域，根据二次函数求的值域；
（2）根据集合间运算求解.
【小问1详解】
对于函数，则，解得，
所以，
对于，当且仅当时，等号成立，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：，，
所以.
18. 计算：
（1），
（2）.
【答案】（1）11 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算．
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式 .
19. 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
20. 已知a，b均为正实数.
（1）证明：；
（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可得证；
（2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果.
【小问1详解】
因为，则，
当且仅当时取“”.
又为正实数，
所以
【小问2详解】
由题意，得.
由（1）的结论，，
当时取“”.
所以直角周长的最大值为.
21. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.

（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；
（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
【答案】（1）
（2）当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出表达式即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由条件知，
因为，所以，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1），
当且仅当时取等号，
即时，的最大值为600.
所以当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，
且草坪的最大面积为.
22. 已知定义在R上的奇函数过原点，且.
（1）求实数的值;
（2）判断在上的单调性并用定义证明;
（3）画出在上的图像.

【答案】（1）
（2）函数在上是增函数，证明见解析
（3）图像见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由可求得，再将点的坐标代入即可求得；
（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可；
（3）根据题意，直接绘制函数图像.
【小问1详解】
定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意.
【小问2详解】
函数在上是增函数，
证明如下：任取且，则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
【小问3详解】