四川省合江县马街中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省合江县马街中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求斜率，再求倾斜角.
【详解】直线斜率，所以倾斜角为150°.
故选：C
2. 直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别取和计算得到答案.
【详解】直线，当时，；当时，，
直线在轴和轴上的截距分别为，.
故选：B.
3. 下列试验是古典概型的是（ ）
A. 种下一粒大豆观察它是否发芽
B. 从规格直径为（2500.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径
C. 抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况
D 某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型的定义判断．
【详解】只有Ｃ具有古典概型两特点.
【点睛】本题考查古典概型的定义，在这个型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的．
4. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A. 有相同起点的向量B. 等长向量
C. 共面向量D. 不共面向量
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知，，三向量共面．
【详解】如图所示，因，而，
，即
由于与不共线，所以，，三向量共面．
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，向量共面的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.
【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，，
第i个同学的成绩没录入，
第一次计算时，总分是，
方差；
第二次计算时，，
方差，
故.
故选：C.
6. 已知，则直线通过（ ）象限
A. 第一、二、三B. 第一、二、四C. 第一、三、四D. 第二、三、四
【答案】A
【解析】
【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.
【详解】由题意，直线，因为，所以，
所以直线过第一、二、三象限.
故选：A.
7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
【详解】由曲线，可得，
又由直线，可化为，直线恒过定点，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得，所以，
当直线与曲线相切时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
8. 已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件先求出椭圆的方程和的方程，然后联立直线与椭圆方程，由此求解出的横坐标，再结合向量共线以及在直线上分别求解出点横坐标，根据横坐标相等可求出的值.
【详解】由题可知，椭圆的方程为，直线，的方程分别为，.
设，，，其中，
联立，故.
由，得.
由点在直线上，得，
所以或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是对于题设中点的坐标的表示，其中在直线上也在直线上是求解出的值的重要条件.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件为“”，事件为“为奇数”，事件为“”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与互斥B. 与对立
C. D. 与相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．
【详解】解：定义事件： “”，事件 “为奇数”，事件 “”，
对于A，事件： “”包含的基本事件有：，，，，，，
事件 “为奇数”，包含的基本事件有：
，，，，，，
与不能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，与不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；
对于C，的所有可能结果如下表：
（C），，，故C错误；
对于D，（A），（C），，
（A）（C），与相互独立，故D正确．
故选：AD．
10. 已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在不全为零的实数x，y，z，使得
B. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
C. 在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D. 不存在另一个基底，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】若成立则不能构成空间的基底，A错误，根据基底的定义知B正确，排除，，再确定能够得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：若存在不全为零的实数x，y，z，使得，
则不能构成空间的基底，错误；
对选项B：是空间的一个基底，故对空间任一向量，
存在唯一的有序实数组，使得，正确；
对选项C：，，
和不能与，构成空间另一个基底，
设，则，则，
故能与，构成空间另一个基底，正确；
对选项D：表示以为顶点，以为相邻三边的长方体对角线向量，
绕此对角线长方体旋转，基底变成了另一基底，
满足，错误；
故选：BC
11. 已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.
【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可；
首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意；
若为等边三角形，则，所以选项B有可能;
若为等边三角形，则,所以选项A有可能;
若为等边三角形，则；
综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选：AB.
12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A. 图形关于轴对称
B. 曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）
C. 曲线上存在到原点的距离超过的点
D. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
【答案】ABD
【解析】
【分析】将换成方程不变，得到图形关于轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可求解.
【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；
对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；
对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应用，其中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 为估计池塘中鱼的数量，负责人将条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼________条.
【答案】
【解析】
【分析】
设池塘中原来有鱼条，由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.
【详解】由题意，设池塘中原来有鱼条，
则由比值相同得，
解得，
故答案为：350
【点睛】本题主要考查古典概型的应用，属于简单题.
14. 已知，，分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
【答案】0
【解析】
【分析】由数量积公式判断即可.
【详解】因为，
，
，
所以中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．
故答案为：0
15. 直线与圆相交于、两点，若,则_________．（其中为坐标原点）
【答案】
【解析】
【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，先求出O点到直线MN的距离，再求出∠MON，再由数量积公式即可求出答案.
【详解】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，
∴O点到直线MN的距离 ，x2+y2=16的半径r=4，
∴在直角三角形△AON中,设∠AON=θ,得，
∠MON== ，
由此可得： .
故答案为：.
16. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.
【详解】设，，则，，
即，
，即，当且仅当时等号成立，
故，即，.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 甲乙两人各有个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有五个数字，乙的小球上面标有五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出1个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.
(1)写出基本事件空间；
(2)你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.
【答案】（1）见解析
（2）规定是不公平的（理由见解析）.
【解析】
【分析】（1）由题意易求得基本事件空间.
（2）分别求出甲、乙各自获胜概率，若概率相等，则“规定”对甲乙二人公平；若概率不相等，则“规定”对甲乙二人不公平.
【详解】（1）用表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为，乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间：
（2）由（1）可知，基本事件总数个，设甲获胜的事件为，它包括的基本事件有，共含基本事件个数个.
所以.因此乙获胜的概率为，即乙获胜的概率大，这个规定是不公平的.
18. 如图，四棱锥P-ABCD中，为正三角形，ABCD为正方形，平面平面ABCD，E､F分别为AC､BP中点.
（1）证明：平面PCD；
（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）先做出辅助线，证明线面垂直和线线垂直，进而建立空间直角坐标系，用空间向量进行求解线面角.
【小问1详解】
连接BD，
因为E是AC的中点，故对角线AC，BD相交于点E，
即E为BD的中点，
又因为F是BP的中点，
所以EF是三角形PBD的中位线，
所以EFDP，
因为PD平面PBD，EF平面PBD，
所以平面PCD
【小问2详解】
取AB的中点O，连接OP，取CD中点H，连接OH，
因为为正三角形，
所以由三线合一知：OP⊥AB，
因为平面平面ABCD，交线为AB，
所以OP⊥平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，
故OH，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点，OP，OB，OH所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，
设AB=2a，则，
设平面ACP的法向量为，
则，
令得：，
则，
设直线BP与平面PAC所成角为，
则
所以直线BP与平面PAC所成角的正弦值为
19. 在平面直角坐标系中，已知四点．
（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）以线段为直径作圆，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）在，；
（2）或﹒
【解析】
【分析】(1)设出经过，，三点的圆的方程，将三点代入解方程，求出，，的值，再将点坐标代入即可得出结论；
(2)求出以线段为直径的圆的方程，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
小问1详解】
设经过，，三点的圆的方程为，
∴，解得，，，
∴经过，，三点的圆的方程为，
由于，故点也在这个圆上，
因此，四点，，，都在圆上．
【小问2详解】
以线段为直径作圆，圆心，半径为：1，
过点作圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为：，即
可得：，解得，
当切线的斜率不存在时，也满足题意，
∴切线方程：或．
20. 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的基本量的关系求解即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，设，，可得韦达定理，从而得到的中点坐标为，再根据垂直直线的斜率之积为-1列式求解即可
【小问1详解】
依题意有解得，.
∴椭圆C的方程为.
【小问2详解】
假设在线段的中垂线上，
联立消去y得.
设，，则，.
∴.
∴的中点坐标为.
∴，
∴，即，解得.
∴存在时，点在线段的中垂线上.
21. 已知三棱柱中，.
（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.
【解析】
【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.
(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.
【小问1详解】
在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，
则有，因，，平面，于是得平面，
而平面，则，由得，，平面，
从而得平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意， ，化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.
22. 设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率为，得，再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为，得到点在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程．
（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，，再证明当过点与圆相切的切线斜率存在时，，即得证．
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，
由题知，，
椭圆的方程为，
解得，点在椭圆上，
，解得，，
椭圆的方程为．
证明：（2）当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，
由（1）知，，，
，，
，，
当过点与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，，，
，即，
联立直线和椭圆的方程得，
，
得△，
且，，
，，，，
，
，
综上所述，圆上任意一点、、处的切线交椭圆于点，都有．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．
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