吉林省长春市九台区第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省长春市九台区第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）方程x2＝﹣2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，8B．﹣1，2，8C．1，2，﹣8D．1，2，8
2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6B．a＝1，，，
C．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10D．a＝1，b＝2，，
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a
6．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，标杆的高度，金字塔的影长，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转
C．图形的轴对称D．图形的相似
7．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0）B．（，）C．（，）D．（2，2）
8．（3分）已知P是反比例函数（x＞0）图象上一点，A是y轴正半轴上一点，AP：BP＝1：3，则点P的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（2，6）C．（6，2）D．（4，3）
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）若与最简二次根式是同类二次根式 ．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0有一个根为0，则a＝ ．
12．（3分）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，可列方程为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S四边形ABEF＝ ．
14．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
17．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，∠B＝77°，∠C＝83°，求线段BC的长和∠H的大小．
18．（7分）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
19．（7分）截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率．
20．（7分）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD．
（2）在图②中画出△ABC的AB边上确定一点E，使AE＝2BE．
（3）在图③中画出△AMN，使得△AMN与△ABC是位似图形，且点A为位似中心，位似比为．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
22．（9分）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM．
【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合）
（1）若MN＝4，则线段QR的长为 ；
（2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 ．
23．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为 平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
24．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点D为边AB上的点（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）
（1）当点Q与点B重合时，t的值为 ；
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．
2023-2024学年吉林省长春市九台二十二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1．（3分）方程x2＝﹣2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，8B．﹣1，2，8C．1，2，﹣8D．1，2，8
【分析】方程整理为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x2＝﹣2x+8
x2+2x﹣6＝0，
故二次项系数、一次项系数、2、﹣5，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2；
B、＝，故B不符合题意；
C、＝＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣3x＝﹣8，
x2﹣3x+9＝﹣8+3，
（x﹣3）2＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6B．a＝1，，，
C．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10D．a＝1，b＝2，，
【分析】由a＝2，b＝3，c＝4，d＝6，可求得＝＝，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断A不符合题意；由a＝1，b＝，c＝，d＝，可求得＝＝，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断B不符合题意；由a＝4，b＝5，c＝6，d＝10，可求得＝，＝，则四条线段a、b、c、d不是成比例线段，可判断C符合题意；由a＝1，b＝2，c＝，d＝2，可求得＝＝，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵＝，＝＝，
∴＝，
∴四条线段a、b、c、d是成比例线段，
故A不符合题意；
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴四条线段a、b、c、d是成比例线段，
故B不符合题意；
∵＝，＝＝，
∴≠，
∴四条线段a、b、c、d不是成比例线段，
故C符合题意；
∵＝，＝＝，
∴＝，
∴四条线段a、b、c、d是成比例线段，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查两条线段的比、成比例线段等知识，将四条线段从小到大排列，再求出前面两条线段的比及后面两条线段的比，看这两个比是否相等，即可判断这四条线段是否成比例．
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣3＞0，a﹣2＜6，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣7+（a﹣2）＝2a﹣7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．
6．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，标杆的高度，金字塔的影长，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转
C．图形的轴对称D．图形的相似
【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，推算出金字塔的高度，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．
7．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0）B．（，）C．（，）D．（2，2）
【分析】由题意可得OA：OD＝1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，
∴OA：OD＝1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝7，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
8．（3分）已知P是反比例函数（x＞0）图象上一点，A是y轴正半轴上一点，AP：BP＝1：3，则点P的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（2，6）C．（6，2）D．（4，3）
【分析】作PM⊥x轴，PN⊥y轴．则△APN∽△BPM，即可得到P横坐标比纵坐标是1：3，从而求得P的坐标，可得结论．
【解答】解：作PM⊥x轴，PN⊥y轴．
则△APN∽△BPM，
∴＝＝，
∴P横坐标比纵坐标是4：3，设P的横坐标是x．
∴3x3＝12，
即：x2＝4，
∴x＝5（负根已经舍去），
∴P的坐标是（2，6）．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3+x≥0，
解得：x≥﹣8，
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（3分）若与最简二次根式是同类二次根式 4 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式解答即可．
【解答】解：，
根据题意得：a﹣3＝3，
∴a＝4．
故答案为：2．
【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0有一个根为0，则a＝ ﹣1 ．
【分析】把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0得到a2﹣1＝0和a﹣1≠0，求出即可．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x7+a2﹣1＝4，
得：a2﹣1＝5，且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣8，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出a2﹣1＝0和a﹣1≠0是解此题的关键．
12．（3分）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，可列方程为 （36﹣x）（50+5x）＝2400 ．
【分析】商店平均每天盈利数＝每个玩具的盈利×售出个数；每个玩具的盈利＝原来每个的盈利﹣降价数．设每个玩具应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程．
【解答】解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）＝2400，
故答案为（36﹣x）（50+6x）＝2400．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S四边形ABEF＝ 5 ．
【分析】先由平行四边形的性质及点E是BC的中点得AD＝BC＝2CE，再证△ADF和△CEF相似得AF：CF＝AD：CE＝2，S△ADF：S△CEF＝4，进而得AF＝2CF，S△ADF＝4S△CEF＝4，再根据△ADF和△CDF同高可求出S△CDF＝2，由此得S△ABC＝S△ADC＝6，进而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵点E是BC的中点，S△CEF＝1，
∴AD＝BC＝2CE，
∴AD：CE＝7，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴AF：CF＝AD：CE＝2，S△ADF：S△CEF＝4，
∴AF＝4CF，S△ADF＝4S△CEF＝4，
∵△ADF和△CDF同高，
∴S△ADF：S△CDF＝AD：CE＝4，
∴S△ADF＝2S△CDF，
∴S△CDF＝2，
∴S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝4+2＝6，
在△ABC和△CAD中，
，
∴△ABC≌△CAD（SSS），
∴S△ABC＝S△ADC＝6，
∴S四边形ABEF＝S△ABC﹣S△CEF＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积之比等于相似比是解答此题的关键．
14．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 （﹣1+） 米．
【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．
【解答】解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝6，
∴x2＝2（8﹣x），
即x2+2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣7﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：（﹣1+）．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15．（6分）计算：．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
16．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+8＝0
（x﹣1）（x﹣7）＝0
x﹣1＝3，x﹣3＝0
x5＝1，x2＝2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，∠B＝77°，∠C＝83°，求线段BC的长和∠H的大小．
【分析】根据相似多边形的性质求出∠F，∠G，BC，根据四边形内角和等于360°计算，求出∠H．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠B＝77°，
∴∠F＝∠B＝77°，∠G＝∠C＝83°，＝，
∵∠E＝117°，
∴∠H＝360°﹣77°﹣83°﹣117°＝83°，
∵AB＝18，EF＝4，
∴＝，
解得：BC＝27．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质、四边形内角和等于360°，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．
18．（7分）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
19．（7分）截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率．
【分析】直接利用2017年的汽车保有量×（1+增长率）2＝2019年的汽车保有量，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x6＝0.1＝10%，x6＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键．
20．（7分）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD．
（2）在图②中画出△ABC的AB边上确定一点E，使AE＝2BE．
（3）在图③中画出△AMN，使得△AMN与△ABC是位似图形，且点A为位似中心，位似比为．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，结合网格即可得；
（2）如图②作出线段PQ，根据AP∥BQ且AP＝2BQ，利用相似三角形的判定与性质即可确定点E；
（3）取AE＝3，连接CE交AB于点M，过点M作MN∥BC，交AC于点N，利用相似三角形的判定与性质，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图：线段AD即为所求：
∵BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
连接AD即可；
（2）如图：点E即为所求的点，
∵AP∥BQ，
∴△APE∽△BQE，
∴，
即AE＝4BE；
（3）如图：取AE＝3，连接CE交AB于点M，交AC于点N，
∵AE∥BC，
∴△AEM∽△BCM，
∴，
∴，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，相似比为，
∴△AMN与△ABC是位似图形，且点A为位似中心，
故△AMN即为所求．
【点评】本题考查了作三角形的中线，利用相似三角形的性质作线段及位似图形，利用相似三角形的性质是解决本题的关键．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣6（m2+m）＞0，
解得：m＜2．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x3＝﹣2m，x1x6＝m2+m，
∵x15+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣6m）2﹣2（m8+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m6＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
22．（9分）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM．
【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合）
（1）若MN＝4，则线段QR的长为 8 ；
（2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 2 ．
【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证；
[结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到MN是△PQR的中位线，即可求解；
（2）根据（1）的结论得出MN是是△PQR的中位线，当P为中点时得出△PBC的周长的最小值为24，进而勾股定理即可求解．
【解答】[问题原型]证明：∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
∴PM＝QM，
[结论应用]（1）解：根据题意可得AD∥EF∥BC
∴，，
∴QR＝2MN＝8，
故答案为：2．
（2）解：如图所示，
作点C关于AD的对称点，连接PG，DG，
∴PB+PC＝PB+PG≥BG，
当P在BG上时，取得最小值，
又∵PD∥BC，D是CG的中点，
∴PD是BC的中位线，
∴P是AD的中点，则PB＝PG＝PC，
即当P顶点是AD 中点时，
∵根据（1）的结论得出MN是是△PQR的中位线，BC＝10，
∴△PBC的周长为24，
∴，PB+PC＝24﹣10＝14，
∴PB＝2，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为 （4a2﹣200a+2400） 平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【分析】（1）花圃的长为（60﹣2a）米，宽为（40﹣2a）米，据此求解即可；
（2）根据“花圃所占面积是整个长方形空地面积的”列出关于a的一元二次方程，解之即可；
（3）先根据图象利用待定系数法求出y1和y2的函数解析式，再由通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）花圃的面积为（60﹣2a）（40﹣2a）＝（5a2﹣200a+2400）平方米，
故答案为：（4a5﹣200a+2400）．
（2），
解得：a1＝5，a2＝45（不符合题意，舍去），
即通道宽为5米；
（3）根据图象可设y3＝mx经过（1200，48000），
则有1200m＝48000，解得m＝40，
∴y1＝40x，
当x≥800时，设y2＝kx+b，经过（800，（1200，
则有，
解得：，
∴y2＝35x+20000，
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣5a）＝4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（2a2﹣200a+2400）＝﹣4a2+200a，
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣3a2+200a）＝105920，
解得a1＝5，a2＝48（不符合题意，舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点D为边AB上的点（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）
（1）当点Q与点B重合时，t的值为 3 ；
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．
【分析】（1）先由勾股定理求得BC＝3，因为PA＝QC＝t，所以当点Q与点B重合时t＝3；
（2）当点E落在AC边上时，则DQ∥AC，所以△DQB∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例可列方程＝，解方程求出t的值即可；
（3）分两点情况，一是点Q在BC上，作PF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，可求得PF＝t，DG＝，即可由S＝2S△DPQ＝2（S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ）求出S与t之间的函数关系式；二是点Q在BD上，可直接由平行四边形的面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（4）分两种情况，一是PQ∥AB，可根据平行线分线段成比例定理列方程＝；二是PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理列方程＝，解方程求出相应的t值即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∵PA＝QC＝t，
∴当点Q与点B重合时，QC＝BC＝6，
∴t＝3，
故答案为：3．
（2）∵四边形PEQD是平行四边形，
∴DQ∥PE，
当点E落在AC边上时，如图2，
∴△DQB∽△ACB，
∴＝，
∵BQ＝3﹣t，BD＝1，
∴＝，
解得t＝.
（3）当0＜t≤7时，如图1，DG⊥BC于点G，
∵∠AFP＝∠BGD＝90°，
∴PF＝AP•sinA＝t，
∵AB＝5，BD＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝8，DG＝BD•sinB＝，
由S△DPQ＝S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ得S＝×3×8﹣t﹣×t（4﹣t），
∴S＝4（t4﹣t+7﹣t+；
当3＜t＜4时，如图3，则PF＝t，
∵BC+BD＝4，
∴DQ＝4﹣t，
∴S＝t（4﹣t），
∴S＝﹣t3+t，
综上所述，S＝．
（4）当PQ∥AB时，如图4，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
当PQ∥BC时，如图5，
∴＝，
∵AB+BC＝8，
∴AQ＝8﹣t，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，t＝．
【点评】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/7 7:33:59；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）