(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）1.4《基本不等式》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为( )
A．32 B．24 C．4eq \r(2) D．8
2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则eq \r(xy)的最大值为( )
A．9 B．18 C．36 D．81
3．若x0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________．
[方法技巧]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
考法(二) 常数代换法求最值
[例2] (1)已知函数y＝lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值是( )
A．3＋eq \r(2) B．3＋2eq \r(2) C.eq \f(9,2) D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[方法技巧]
1．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常数代换法求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
考法(三) 消元法求最值
[例3] 已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当eq \f(c,ab)取最小值时，a＋b－c的最大值为( )
A．2 B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,4)
[方法技巧]
通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
考法(四) 放缩法求最值
[例4] (1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[方法技巧]
放缩法解不等式求最值的方法
将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出所求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值．
考点二 基本不等式在实际问题中的应用
[典例] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型题目的题干往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[针对训练]
经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[典例] (1)如图，在△ABC中，eq \(CM,\s\up7(―→))＝2eq \(MB,\s\up7(―→))，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AQ,\s\up7(―→))＝neq \(AC,\s\up7(―→))，则mn＋m的最小值为( )
A．2 B．2eq \r(3) C．6 D．6eq \r(3)
(2)已知x>0，y>0，且eq \f(xy,2y＋3x)＝1，不等式eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．
[方法技巧]
基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
[针对训练]
1.如图，三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝2，设点K是△ABC内一点，现定义f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分别是三棱锥K­PAB，K­PBC，K­PAC的体积，若f(K)＝(a，eq \f(1,3)，b)，则eq \f(3a＋b,ab)的最小值为________．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
“1的代换”的妙用
1．若正实数x，y满足x＋y＝1，则eq \f(y,x)＋eq \f(4,y)的最小值是________．
2．已知a＞0，b＞0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则3a＋2b＋eq \f(b,a)的最小值为________．
3．计算(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
eq \a\vs4\al([名师微点])
“1”的代换是通过在实际解题中，恰当运用“1”的整体性进行代换，结合相应的定理、公式，进而达到迅速解题的目的，常在不等式及三角函数中应用．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金( )
A．大于10 g B．大于等于10 g C．小于10 g D．小于等于10 g
2．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
3．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝eq \f(k⊗x,\r(x))的最小值为________．
4．已知eq \f(π,4)0，b>0)的最大值为1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有( )
A．最大值9 B．最大值18
C．最小值9 D．最小值18
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
11．若关于x的不等式x＋eq \f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
12．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__________．
13．(1)当x＜eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值．
14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝lga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为( )
A．16 B．8 C．12 D．14
2．若实数x，y满足x2y2＋x2＋y2＝8，则x2＋y2的取值范围为( )
A．[4,8] B．[8，＋∞) C．[2,8] D．[2,4]
3.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
(1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，使用x表示y的函数关系式；
(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．