(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.4《指数与指数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(指数型函数图象)函数y＝2x＋1的图象是( )
答案：A
2．(指数幂的运算)计算：π0＋2﹣2×(2eq \f(1,4))0.5＝________.
答案：eq \f(11,8).
3．(根式的意义)若eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．
解析：eq \r(2a－12)＝|2a﹣1|，eq \r(3,1－2a3)＝1﹣2a.因为|2a﹣1|＝1﹣2a.故2a﹣1≤0，所以a≤eq \f(1,2).
答案：(∞﹣，eq \f(1,2)]
4．(函数过定点)函数f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：令x﹣2＝0，得x＝2.此时a0＋1＝2，∴定点为(2，2)．
答案：(2，2)
5．(指数函数的值域)函数y＝3x2﹣2x的值域为________．
解析：设u＝x2﹣2x，则y＝3u，u＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1≥﹣1，所以y＝3u≥3﹣1＝eq \f(1,3)，
所以函数y＝3x2﹣2x的值域是[eq \f(1,3)，+∞). 答案：[eq \f(1,3)，+∞)
二、易错点练清
1．(化简eq \r(n,an)(a∈R)时忽略n的范围)计算 eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4)＝________.
答案：2eq \r(2)
2．(错误理解指数函数的概念)若函数f(x)＝(a2﹣3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案：2
3．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝________.
答案：2或eq \f(1,2)
考点一 指数幂的化简与求值
[典例]eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是( )
A．1 B．a C．a D．a
[解析]eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq \f(a3,a·a)＝a＝a.故选D.
[答案] D
[方法技巧]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．化简指数幂常用的技巧
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))﹣p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))p(ab≠0)；
(2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a))m，aeq \f(n,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a))n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a﹣1a，1＝aa等；
(4)乘法公式的常见变形，
如(a＋b)(a﹣b)＝a﹣b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b.
[针对训练]
1．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq \f(1,a)﹣eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝________.
解析：由题设可得2＝14，2＝7，2＝4，则2＝eq \f(14,7)＝2，∴2＝2×4＝23，∴eq \f(1,a)﹣eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝3.
答案：3
2．若x>0，则(2x＋3)(2x﹣3)﹣4x (x﹣x)＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2﹣(3)2﹣4x·x＋4x·x
＝4x﹣3﹣4x＋4x＝4x﹣33﹣4x＋4x0＝﹣27＋4＝﹣23.
答案：﹣23
考点二 指数函数的图象及应用
[典题例析]
(1)已知函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

(2)(多选)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列四个关系式中成立的关系式是( )
A．0