(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.8《函数模型及其应用》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.利用给出的具体函数模型解决实际问题，凸显数学运算的核心素养．
2．给出具体实际问题，借助所学基本初等函数的特点，建立恰当的函数模型解决实际问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．几类常见的函数模型
2．三种基本初等函数模型的性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(函数的增长速度)下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝eq \f(1,100)ex B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
2．(二次函数模型)某物体一天内的温度T关于时间t的函数解析式为T(t)＝t3﹣3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为( )
A．8 ℃ B．18 ℃ C．58 ℃ D．128 ℃
答案：A
3．(对数函数模型)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1+eq \f(M,m)).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln(1+eq \f(M,m))＝12 000，∴ln(1+eq \f(M,m))＝6，∴eq \f(M,m)＝e6﹣1.
答案：e6﹣1
4．(分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________________．
答案：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.5x，0100))
二、易错点练清
1．(对函数增长速度理解不深致误)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝2x﹣2 D．y＝lg2x
答案：D
2．(构建函数模型失误)某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为( )
A．3.75元/瓶 B．7.5元/瓶 C．12元/瓶 D．6元/瓶
解析：选D 设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x﹣3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(400＋\f(4－x,0.5)×40))＝80(x﹣3)(9﹣x)＝﹣80(x﹣6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
3．(计算失误)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝﹣2，所以y＝2lg4x﹣2.
当y＝8时，2lg4x﹣2＝8，解得x＝1 024.
答案：1 024
考点一 应用所给函数模型解决实际问题
[典例] Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
[解析] 由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，eq \f(K,1＋e－0.23t*－53)＝0.95K，即eq \f(1,0.95)＝1＋e﹣0.23t*﹣53，
e﹣0.23t*﹣53＝eq \f(1,19)，e0.23t*﹣53＝19，∴0.23(t*﹣53)＝ln 19≈3，∴t*≈66.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
应用所给函数模型解决实际问题的3个关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
[针对训练]
一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae﹣bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae﹣8b＝eq \f(1,2)a，∴e﹣8b＝eq \f(1,2).令y＝eq \f(1,8)a，即ae﹣bt＝eq \f(1,8)a，
e﹣bt＝eq \f(1,8)＝(e﹣8b)3＝e﹣24b，则t＝24，∴再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
考点二 构建函数模型解决实际问题
考法(一) 构建二次函数模型
[例1] 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
[解] (1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8﹣y，EQ＝x﹣4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，
所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，所以y＝﹣eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝x（10﹣eq \f(x,2)）＝﹣eq \f(1,2)(x﹣10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[方法技巧]
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
考法(二) 构建指数函数、对数函数模型
[例2] (1)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
(2)已知世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
[解析] (1)设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为(eq \f(1,2))n，由(eq \f(1,2))n0)型函数模型
[例3] 某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为eq \f(37k,\r(S))元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为eq \f(12k,\r(S))元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?
[解] (1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30﹣x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝ eq \r(3)(30﹣x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝eq \r(3)x(30﹣x)，x∈[10,20]，
由x(30﹣x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋30－x,2)))2＝225，
可知当x＝15时，S取得最大值为225eq \r(3)，
当x＝10或20时，S取得最小值为200eq \r(3)，
∴S的取值范围为[200eq \r(3)，225eq \r(3)]．
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37keq \r(S)，
又∵△ABC的面积为450eq \r(3)，
∴草坪造价T2＝eq \f(12k,\r(S))(450eq \r(3)﹣S)．
∴总造价f(S)＝T＝T1＋T2＝25k(eq \r(S)＋eq \f(216\r(3),\r(S)))，200eq \r(3)≤S≤225eq \r(3).
(3)∵eq \r(S)＋eq \f(216\r(3),\r(S))≥12eq \r(6\r(3))，当且仅当eq \r(S)＝eq \f(216\r(3),\r(S))，即S＝216eq \r(3)时等号成立，
此时eq \r(3)x(30﹣x)＝216eq \r(3)，解得x＝12或x＝18.
故选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
[方法技巧]
“y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)”型函数模型的求解策略
(1)“y＝x＋eq \f(a,x)”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋eq \f(a,x)”型函数模型．
(2)求函数解析式时要先确定函数的定义域．对于y＝x＋eq \f(a,x)(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
考法(四) 构建分段函数模型
[例4] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设每团人数为x，由题意得0