八年级上学期期末数学试题 (142)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (142)，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下面的四个实验器材中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
3. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 8cmB. 13cmC. 8cm或13cmD. 11cm或13cm
【答案】D
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4. 如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5. 若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
6. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是的外角，求证：．
证法1：如图．
∵（三角形内角和定理）
又∵（平角定义）
∴（等量代换）
∴（等式性质）
证法2：如图，
∵，，
且（量角器测量所得）
又∵（计算所得）
∴（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B. 证法1用严谨的推理证明了该定理
C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【解析】
【分析】根据定理证明一般步骤进行分析判断即可解答．
【详解】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
B的说法正确，符合题意；
C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意，
综上，B的说法正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 使二次根式有意义的的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵二次根式有意义
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题的关键．
8. 点关于轴对称的点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可解答．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
9. 分解因式：3x2y﹣3y＝_______．
【答案】3y(x+1)(x﹣1)
【解析】
【分析】先提取公因式3y，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答本题的关键．
10. 如图，在中，点在边上，．若，则的大小为_____度．
【答案】35
【解析】
【分析】在中利用等边对等角性质以及三角形内角和定理求出的度数，然后利用是的一个外角即可求出答案．
【详解】∵，，
∴,
∵是的一个外角，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形内角和、外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
11. 如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
【答案】48
【解析】
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
故答案为：48
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
12. 如图，在中，平分若则____．
【答案】1
【解析】
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
13. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．

【答案】18
【解析】
【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．
【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．
14. 如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是 ____．

【答案】
【解析】
【分析】由，，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由折叠的性质，求得的度数，继而求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时：原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
18. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程，解整式方程，检验，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在的正方形网格中，A，B两点都在格点上，连接，请完成下列作图．

（1）在图①中找一个格点C，使得是一个轴对称图形（作一个即可）；
（2）在图②中找一个格点D，使得是以为直角边的直角三角形（作一个即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）等腰三角形是轴对称图形，作是等腰三角形即可；
（2）直接利用直角三角形的性质得出符合题意的答案．
【小问1详解】
解：，，
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，且为直角边，

如图所示：即为所求．
【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握等腰直角三角形的性质是解题关键．
20. 2022年我国已成为全球最大电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【解析】
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，
（1）试说明
（2）求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出；
（2）根据全等三角形的性质可得出，设，则，
中，根据勾股定理，可得到x的值．
【小问1详解】
解：根据折叠可知：，
∴．
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
22. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【解析】
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．
【答案】（1）（a+b）2=2ab+a2+b2；（2）a2+b2= c2，理由见详解；（3）13
【解析】
【分析】（1）用两种方法表示大正方形的面积，即可得到答案；
（2）用两种方法表示中间的正方形的面积，即可得到答案；
（3）利用（a+b）2=2ab+a2+b2和a2+b2= c2，代入求值，即可．
【详解】解：（1）由图形可知：∵大正方形的面积=2ab+a2+b2，大正方形面积=（a+b）2，
∴（a+b）2=2ab+a2+b2，
故答案是：（a+b）2=2ab+a2+b2；
（2）∵中间正方形的面积=c2，中间正方形的面积=（a+b）2-4×ab= a2+b2，
∴a2+b2= c2；
（3）由（1）可知：（a+b）2=2ab+a2+b2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=172-2×60=169，
又∵a2+b2= c2，
∴c2=169，即c=13（负值舍去），
【点睛】本题主要考查完全平方公式勾股定理的证明，结合图形，会用代数式表示同一个图形的面积是解题的关键．
24. 【感知】如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度；
【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：；
【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______．

【答案】；证明见解析；
【解析】
【分析】【感知】根据等边三角形的性质可知，求得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；
【探究】根据等边三角形的性质可知，推得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
【应用】根据等边三角形的性质可知，，推得，根据全等三角形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，即可求出四边形的周长．
【详解】【感知】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【探究】证明：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【应用】解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
由探究可知，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 已知：在中，．点D与点C关于直线对称，连接，交直线于点E．

（1）当时，如图①．用等式表示，与的数量关系是______，与的数量关系是______；
（2）当是钝角时，如图②．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）①根据题意补全图形，即可；②在的延长线上取点F，使，连接根据轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质可得．从而得到，再由，可得，从而得到即可．
【小问1详解】
解：∵，点D与点C关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①补全图形如下：

②，证明如下：
在的延长线上取点F，使，连接．

∵点C与点D关于直线对称，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26. 如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①斜边上的高为______
②当时，的长为______
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】（1）①；②
（2）出发秒后能形成等腰三角形；
（3）当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高；
②可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
（2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【小问1详解】
解：①在中，由勾股定理可得，
∴斜边上的高为；
②当时，则，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即的长为，
故答案为：①；②；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，即，
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
【小问3详解】
解：在中，，
当点Q在上时，，，
∵为等腰三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，如图，过B作于E，
则，
由（1）知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②当时，则，解得；
③当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
综上可知当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．