浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 已知，，，则， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.全卷分试卷和答卷，满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.
3.请用钢笔或水笔将班级、姓名、试场号、座位号分别填写在答卷的相应位置上.
4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由可得或，
所以，
故选：B
2. 命题“，一元二次方程有实根”的否定是（ ）
A. ，一元二次方程没有实根
B. ，一元二次方程有实根
C. ，一元二次方程没有实根
D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特陈命题，即可得出答案.
【详解】命题“，一元二次方程有实根”的否定是:
，一元二次方程没有实根.
故选：A.
3. 下列函数与是同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，故两个函数的定义域不相同，所以与不是同一函数，A错误，
对于B，的定义域为,的定义域为，由于两个函数的定义域不相同，所以与不是同一函数，B错误，
对于C，的定义域为,的定义域为，且，由于两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以与是同一函数，C正确，
对于D，的定义域为,的定义域为，但，由于对应关系不相同，所以与不是同一函数，D错误，
故选：C
4. 已知非零实数，，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义赋值即可.
【详解】若，时，但，充分性不成立，
若则，，所以，必要性成立.
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用奇函数的性质解得，再解不等式即可
【详解】因为是奇函数，
所以，，解得
即，解得
故选：D
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的运算性质可得，，，即可得出答案.
【详解】，
，
，
故
故选：C.
7. 已知函数，若方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两类讨论：时有两个解，有一个解；时有一个解，有两个解；即可求解.
【详解】依题意，
①若与有一个解，
与有两个解，
则当时，因为恒过定点，
也过点，即是其中的一个交点；
即当只有一个解，整理得
解得或，即，与只有一个解；
此时与需要有两个解才能满足要求，
当时，即有两个解，
解得或（舍去），只有一个解不满足题意；
当时，即有两个解，
整理得，因为，
此方程无解，不满足题意；
②若与有两个解，
与有一个解，
则当时有两个解，
解得或，此时；
⑴当时，即有一个解，
整理得，解得或（舍去），
只有一个解满足题意，此时；
⑵当时，即有一个解，
整理得，因为，所以，
即，转化为与图像的有一个交点即可，
如图所示：
因为在上单调递增，
所以，即；
综合⑴⑵可知，当时，与只有一个解，
又与有两个解时，
所以当时，有且仅有三个不同的实数解.
故选：B.
8. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将所给式子化简可得，即可根据不等式的性质求解.
详解】由可得，化简可得，
由于，所以，故，
由于，所以，故，
所以，
故选：A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD
【详解】对于A,若，，则，故A错误；
对于B,若，则，即，故B正确；
对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得，
则，故C正确；
对于D,满足，则得不到，故D错误
故选：BC
10. 已知函数，若函数在区间上单调递减，则实数可能的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解后，即可依次判断各选项是否满足题意.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在区间上单调递减，
所以，且当时，，即，
解得：，
所以选项满足题意，选项不满足题意.
故选：.
11. 设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得.
【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对；
对于B，取，则，得，
，故B不成立.
对于C，取，， ，得，故C不成立.
对于D，设，，
则，而；
当时，，此时，
当时，，此时，
综上：，故D对.
故选：AD
12. 函数（，且）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分类讨论，即可根据函数的单调性以及对勾函数的性质即可求解.
【详解】根据题意，
当时，，，其图象与选项A对应，
当时，，在区间上，为对勾函数，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项B对应，
当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第四象限先增后减，无对应选项，
当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，图象与选项D对应，
故选：ABD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知幂函数f（x）的图象经过（3，27），则f（2）＝________．
【答案】8
【解析】
【详解】试题分析：设幂函数，依题意可知，所以．所以，所以．
考点：幂函数．
14. 计算：________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运即可求解.
【详解】,
故答案为：
15. 已知，，则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数与对数的互化，构造函数，根据函数的单调性可确定，进而根据一元二次方程求解即可.
【详解】令，则
同理，
令，则在定义域内单调递增，故，
因此，且，
所以，
故答案为：
16. 已知实数，，且满足，则的最小值是________.
【答案】17
【解析】
【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，化简得，故，
故，
令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，解得，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
故答案为：17
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知全集，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得.
【小问1详解】
因为，所以，，
所以，
【小问2详解】
由得，得解得，
所以，故实数的取值范围为
18. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
（2）若，且，，求的最小值.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集可得1，b为的两个根，从而利用韦达定理即可得解；
（2）利用的代换，即可求得的最小值．
【小问1详解】
因为不等式的解集为，则的两个根为，，，
则，解得，
故，.
【小问2详解】
若，则，即，
.
当且仅当，即时取等.
所以的最小值为.
19. 已知函数为定义在上奇函数.
（1）求，，的值，并判断在上的单调性（不需要证明）；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1），在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）用奇函数的性质即可得解；
（2）利用单调性即可求解.
小问1详解】
因为为定义在上的奇函数；
所以，解得，
：，
即，，
故，
当时，根据在上单调递增，
则在上单调递增，
又为定义在上的奇函数，
故在上单调递增.
【小问2详解】
因为，而在上单调递增,
故，解得.
则不等式解集为.
20. 用洗衣液清洗衣物上残留污渍.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用水越多，洗掉的污渍也越多，但总还有污渍残留在衣物上.设用单位量的水清洗一次后，衣物上残留的污渍量与本次清洗前残留的污渍量之比为函数.
（1）根据实际意义判断的单调性，并求的值；
（2）设，现有1单位量的水，需要将水分成2份后清洗衣物，试确定2次清洗时各自需要的用水量，使得2次清洗后衣物中残留的污渍量最少.
【答案】（1）答案见解析
（2）2次清洗时分别用单位量的水
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件分析即可得到单调性；
（2）根据题意，设第一次清洗时需要单位量的水，则第二次清洗时需要单位量的水，结合解析式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由表示衣物上残留的污渍量与本次清洗前残留的污渍量之比可知，在单调递减，且，表示没有用水洗时，衣服上的物资量将保持原样.
【小问2详解】
设第一次清洗时需要单位量的水，则第二次清洗时需要单位量的水，
其中，
则第一次清洗之后衣服中污渍量之比为，
第二次清洗之后衣服中污渍量之比为，
对于函数，
则，所以.
即当2次清洗时分别用单位量的水，衣物中残留的污渍量最少.
21. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）令，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）由基本不等式求出最小值；
（2）函数变形为，当时，结合基本不等式求出，故只需，得到，结合时，，从而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9
【小问2详解】
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
若，则，
若恒成立，只需，即，
因为，所以，
若，则恒成立，
综上，，
实数的取值范围为.
22. 定义：函数的定义域为，且任意，存在，使得，则称为“好函数”.已知，.
（1）当时，判断是否为“好函数”，并说明理由；
（2）若为“好函数”，求实数的取值范围.
【答案】22. “好函数”，理由见解析
23.
【解析】
【分析】（1）令，当时，，则，根据条件即可判断；
（2）因为单调递增，根据题意分情况讨论值域与的关系，求解即可.
【小问1详解】
令，当时，，所以恒成立，
因为，所以，得定义域为，即，
因为，都有，，且，
所以存在，有，
即任意，存在，使得成立，
故当时，判断为“好函数”.
【小问2详解】
令函数的值域为集合，
①当时，由（1）可知为“好函数”，
即有实数根，则，解得或;
②当，得
函数对称轴为，所以,
令，，当时，函数有最大值，
当或时，函数有最小值，
即函数，令，，
因为函数函数对称轴为，
所以函数在上单调递增，
即函数单调递增，所以，
因为且，所以，
当且仅当，且时等号成立，
不满足题中任意，存在，使得成立，
综上所诉：实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：全称命题判断为假，可以通过以下两种方法判断：一、举一个例子不满足该命题；二、有且只有部分满足该命题.