福建省厦门大学附属科技中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份福建省厦门大学附属科技中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了全卷分三个部分，共25题；，作图题可直接用2B铅笔作图，抛物线的顶点坐标是，函数与的图象可能是，对于代数式M、N定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。

数学
（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）
命卷人：吴彩灼 审核人：郑娴娴
考生注意：
1．全卷分三个部分，共25题；
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分；
3．作图题可直接用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．“清明时节雨纷纷”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件C．不可能事件D．随机事件
3．下列选项中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，A，B，C是上的三个点，若，则∠AOB的度数为（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
6．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，将OP绕原点O逆时针方向旋转90°到的位置，则在旋转过程中，线段OP扫过的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．对于代数式M、N定义一种新运算：．
①若，则；②若，是一元二次方程的两个根，则；
③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或-1．
以上结论正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．如图，四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．已知是方程的一个根，则a的值为______．
12．已知的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与的位置关系是______．
13．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是______．
14．如图，一次函数的图像与二次函数的图像交于两点，，则当时，x的取值范围为______．
15．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点和，若，且，则；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是______．
16．如图，四边形ABCD中，，，AC平分∠BAD，于点E， 于点F，连接DE，，，则______．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（本题满分8分）解下列方程：
（1）（2）
18．（本题满分8分）ETC（ElectrnicTllCllectin）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费系统，安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用。某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过A通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
19．（本题满分8分）已知抛物线的顶点坐标为，且经过x轴上一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点记为C，求出的面积．
20．（本题满分8分）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、门宽、对角线的长各是多少（如图）？
21．（本题满分8分）如图，已知在中，．
（1）请用圆规和无刻度直尺作出，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若，，求的半径．
22．（本题满分10分）2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（本题满分10分）如图，中，，以BC为边向外作等边，把绕着D点按顺时针方向旋转60°后得到．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若，，求AD的长．
24．（本题满分12分）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A，B，与
y轴交于点C，顶点为D，连接BC
（1）求顶点D的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求面积的最大值；
（4）以AB为直径，M为圆心作圆M，直接写出直线CD与圆M的位置关系．
25．（本题满分14分）如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，，，，以点P为圆心、PB为半径作，作∠OBP的平分线分别交、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是的切线．
（2）设的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧，的中点，作，，垂足为G、H，试求的值．
2023-2024 学年（上）厦门大学附属科技中学
初三年阶段性检测二【数学】
姓名：______ 班级：______ 座号：______
1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A
11． 12．相交 13． 14． 15．②③ 16．
17．（8分）4+4
解：（1）
∴，
（2）

∴或
∴，
18．（8分）3+5
解：（1）车辆任意选择一个通道经过共有4种可能，为“A”“B”“C”“D”．
小李通过A通道只有1个可能，∴
（2）列表如下？
记事件M为“小李和小赵经过相同通道”，有4种可能，为“AA”“BB”“CC”“DD”，
∴，∴共有16种等可能的结果．
19．（8分）4+4
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线解析式为
∵图象经过，∴，解得
∴抛物线解析式为
（2）令，解得，
∴，∴
过点A作交BC于D
∵，∴，∴
20．（8分）
解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺
∴，，
在中，由勾股定理得：
∴
整理得：，解得，
当时，，不合题意，舍去，∴
∴，
答：门高为8天，门宽为6尺，对角线为10尺
21．（8分）3+5
解：（1）如图所示，即为所求
（2）记与BC相切于点D，连接PD，∴
在中，，，
由勾股定理得：
设
∵，∴
即，解得，∴的半径为
22．（10分）5+5
解：（1）∵是等边三角形，∴
在四边形ABCD中，，∴
∵绕D顺时针旋转60°得到，
∴，，，∴
∴，∴点A、C、E三点共线
∵，，∴为等边三角形，
∴，∴
（2）∵绕D顺时针旋转60°得到，∴
∵，∴，
∵点A、C、E三点共线，，∴
∵为等边三角形，∴
23．（10分）4+6
解：（1）设月平均增长率为x，依题意得：
∴，（不合题意，舍去）
∴
答：月平均增长率是20%
（2）设每个吉祥物公仔的售价为m元，依题意得，解得：
∴销售吉祥物公仔每天的总利润为
∵，∴当时，w随m的增大而增大
∵，∴当时，w最大．
此时，
答：每个吉祥物公仔的售价定为78元时，可获得的利润最大，最大利润为1152元
24．（12分）3+3+4+2
解：（1）
∴D的坐标为
（2）令，即，
解得，，∴，
令，∴，∴
设BC解析式为
∴解得，∴BC解析式为
（3）设，
过点E作轴于点F，∴
∵
∴
∵，∴，．
∵，，∴，，∴
∴

∵，∴当时，最大为16
∴面积的最大值为16
（4）相切
25．（14分）4+4+6
（1）证明：在中，，，
，∴，
∵，∴
由勾股定理得：
在中，
由勾股定理得：
在中，，
∴，∴为直角三角形，且，∴
∵PB为的半径，∴直线AB是的切线
（2）连接PC
在中，，，∴
在中，，，∴
∵BC平分，∴
∴
∵是的一个外角，∴
∴，∴
∵，∴
∴，∴
∴，∴
（3）当时，，∵，∴，∴
作轴，轴，连接ET，FT
∴，∴T在的平分线上，∴
∴，∴
在和中
∴（HL），∴
∴
延长NH交于R，连接QN，QR
∵，∴EF为的直径，∴
∵N是的中点，∴
∴，∴
同理
∴
小李
小赵
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD