山东省烟台市牟平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山东省烟台市牟平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡．
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．）
1．若锐角满足，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线与直线只有一个公共点，则c的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
3．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（ ）
A． B． C． D．
4．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与因变量y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于 D．当时，y的值随x值的增大而增大
5．小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了,其铅直高度上升了,在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（ ）
A． B．
C． D．
6．竖直上抛的小球的高度与运动时间的函数表达式为,若小球在上抛后第与第时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第 B．第 C．第 D．第
7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A,B,D三点在同一直线上，若,则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C．0.5 D．2
10．如图，在中，，,点在的边上，从点A同时出发，分别沿和的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段扫过区域的面积记为y,运动时间记为x,能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每题3分，共18分）
11．将抛物线向左平移4个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的表达式是___________．
12．若抛物线的部分图象如图所示，抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为,则当时，x的取值范围是___________．
13．如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为，轴，若,则___________．
14．活动楼梯如图所示，，斜坡的坡比为,斜坡的坡面长度为,则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度为___________．
15．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为,则的值为___________．
16．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且,则．其中正确结论有___________．（填写序号）
三．解答题（满分72分）
17．（本题6分）
在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
18．（本题6分）
如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B,C重合），,交于点,交于点F．设的长为x,四边形的面积为y,y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为．
图1 图2
求：的边和的长．
19．（本题8分）
如图，点A在第一象限内，轴于点B,反比例函数的图象分别交于点．已知点C的坐标为，．
（1）求k的值及点D的坐标；
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
20．（本题8分）
如图所示，一艘渔船从海域A处到C渔港途经B岛，当它由海域A处出发时，发现它的北偏东方向有一信号塔P．它从海域A处向正北方向航行了到达B岛，发现信号塔P在它北偏东方向，然后它由B岛向北偏东方向航行了到达C渔港．
（1）求海域A处与信号塔P的距离；
（2）求信号塔P相对于C渔港的位置．
21．（本题10分）
某文具店以每台30元的价格购进一批计算器，如果以每台40元出售，那么一个月内能售出300台，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10台，设计算器的销售单价提高x元．
（1）文具店希望一个月内销售该品牌计算器能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问计算器的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售该品牌计算器获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．（本题10分）
已知抛物线
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
（3）设点在抛物线上，若,求a的取值范围．
23．（本题10分）
科技是第一生产力，无人机已广泛应用于生产和生活的各个领域，如：代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为,此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F,测得点E处俯角为，其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到）．
（参考数据表）
24．（本题14分）
如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交直线于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交直线于点E,求的最大值；
（3）若以为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P,点D的坐标．
2023—2024学年度第一学期期中质量检测
初四数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
二．填空题（每题3分，共18分）
11． 12．或 13．32 14． 15． 16．②③④
三．解答题（本题共8个题，满分72分）
17．（本题6分）
解：在中，
2分
， 4分
6分
18．（本题6分）
解：∵抛物线的顶点为，过点，
时，,
, 2分
作于H,当时的面积为3， 3分
,
， 4分
，
, 5分
，
， 6分
19．（本题8分）
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
，
解得, 3分
．
∴点D的纵坐标为1， 4分
∵点D在反比例函数的图象上，
,
解得,
即点D的坐标为； 6分
（2）∵点,点,点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），
∴点P的横坐标x的取值范围是． 8分
20．（本题8分）
解：（1）如图所示，过点B作于点D．
在中，，， 1分
． 2分
，
． 3分
∴在中，， 4分
．
． 5分
∴海域A处与信号塔P的距离为． 6分
（2），
,
为等边三角形
7分
又
∴信号塔P在C渔港的东南方向，距离为处． 8分
21．（本题10分）
解：（1）由题意列方程得： 2分
解得； 4分
∵要尽可能减少库存，
不合题意，故舍去
∴计算器的销售单价应提高2元； 5分
（2）设利润为M元，由题意可得： 7分
∴当时，M最大值元 8分
∴销售单价：元 9分
∴当文具店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元． 10分
22．（本题10分）
解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线,即; 2分
（2）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， 4分
∵抛物线的顶点落在x轴上，
, 5分
解得或． 7分
（3）当时，, 8分
若,则,解得． 10分
23．（本题10分）
解：延长分别与直线交于点G和点H, 1分
则，
在中，，
, 4分
是的一个外角，
，
，
， 6分
在中，，
, 8分
, 9分
∴楼与之间的距离的长约为． 10分
24．（本题14分）
解：（1）∵抛物线经过和两点，
2分
解得：,
∴抛物线的表达式为． 3分
（2）解：，
∴直线表达式为, 4分
∵直线与x轴交于点C,
∴点C的坐标为，
轴，轴，
, 5分
，
，
则, 6分
设点P的坐标为,则点D的坐标为，
， 7分
， 8分
，
因点P是直线上方一点，所以
∴当时，有最大值，且最大值为． 9分
（3）解：根据题意，
在一次函数中，令,则，
∴点C的坐标为；
当时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为； 10分
轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：,
∴点P的坐标为； 11分
当时，如图，则,
设点,则点P为，
， 12
，
，
，
，
∴点D的坐标为，点P的坐标为； 13分
∴满足条件的点P，点D的坐标为或． 14分
x
…
0
1
3
…
y
…
6
…
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.01）
2.75
0.34
1.73
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
C
B
A
C
A