四川省南充市仪陇县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份四川省南充市仪陇县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。

1．数学试题满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前将姓名、座位号、准考证号填在答题卡指定位置；
3．所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
4．选择题须用2B 铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
5．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（ ）

A．3B．4C．5D．7
6．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
8．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）

A．B．C．D．
9．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
10．若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，且．则下列结论正确的是（ ）
A．B． C． D．
二、 填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．方程的解是 ．
12．如果函数是二次函数，那么的值为 ．
13．已知，在抛物线上，则 (填“”“ ”或“”)
14．如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为 时，四边形的面积最大．

15．若实数x满足，则的值是 ．
16．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转，分别与边交于E、F两点．下列结论：①，②，③，④，⑤始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有 .(填写序号)
三、 解答题(本大题共9个小题，共86分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
19．如图，某中学要在教学楼后面的空地上用20米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙(外墙足够长)，其余三边用竹篱笆．设矩形的边的长为x米，矩形面积为y平方米．
(1)求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)生物园的面积能否达到55平方米？请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程，且．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根，满足，求k的值．
21．阅读思考，并解答下列问题：
在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)．
(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；

(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；
(3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：）
22．配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】：
（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；
①10 ②24 ③34 ④60
【探究问题】：
（2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____；
（3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
【拓展应用】：
（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值．
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．
(1)在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
(3)若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
24．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．

(1)当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．

①当时，求此时旋转角的大小；
②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．
(2)当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．

25．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，若，求点P的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的整式方程是一元二次方程”，对每个方程进行分析即可求解．
【详解】A、当中时不是一元二次方程，故A选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故B选项符合题意；
C、通过化简后得：，不是一元二次方程，故C选项不符合题意；
D、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解．
【详解】解：移项：，
配方：，
即：，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键．令进行计算即可得解．
【详解】解：当时，，
所以，抛物线与轴的交点坐标为．
故选C．
4．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：宽比长少一十二步，且设宽为x步，
长为步，
又直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），
根据题意可列出方程．
即：
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，根据菱形的性质及旋转的性质得出，，根据勾股定理求出即可．解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出，．
【详解】解：∵菱形的对角线、交于点O，，，
∴，
∴，
∵将绕着点C旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，根据勾股定理得：
．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可．
【详解】解：因为抛物线向下平移1个单位长度，
得，
因为再向右平移2个单位长度后，
所以，
故选：A
7．C
【分析】本题主要考查根与系数的关系、代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．根据根与系数的关系可得，，将变形为，再前面括号中的用替换得，最后将，的值代入计算即可求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是解题的关键．
以拱形桥顶为坐标原点，建立直角坐标系，利用待定系数法可求抛物线解析式，代入解析式解方程即可．
【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，

则点，
设函数表达式为：，
把点代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
设水位下降到B点时，水面宽增加，
则点，
当时，，
则水面应下降的高度是：．
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次方程、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题分时和时两种情况求解即可．
【详解】解：当时，方程有实数根；
当时，∵关于x的方程有实数根，
∴，解得，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的交点．数形结合是解题的关键．
由题意设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，则分别为两点的横坐标，分别为两点的横坐标，然后数形结合比较横坐标的大小即可．
【详解】解：由题意知，，，
设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，则分别为两点的横坐标，分别为两点的横坐标，
∵，
∴，
如图，

∴，
故选：B．
11．或
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：方程整理可得：，
因式分解可得：，
解得：或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，关键是掌握因式分解法．
12．
【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义得出关于的不等式组，求出的值即可．
【详解】解：函数是二次函数，
，
解得．
故答案为：
13．
【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据图象上的点越靠近对称轴时，对应的函数值越大即可得出答案．
【详解】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
越靠近直线时，的值越大，
，，
比靠近直线，
，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知设四边形的面积为S，为x，则，进而得到关系式，求出最值即可，根据已知得到二次函数关系是解答本题的关键．
【详解】解：设，四边形的面积为S，则，
则，
∵，
∴有最大值，
当时，四边形的面积最大，
即当时，四边形的面积最大，
故答案为：3．
15．5
【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法．
【详解】解：方程整理得：，
设，
则原方程变形为：，
，
，，
当时，，
，
，
则，
故答案为：5
16．①④⑤
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，利用证明，得，则是等腰直角三角形，，可知①⑤正确；由，可知④正确．
【详解】解：连接，
∵是等腰直角三角形，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，故⑤正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，故④正确，
故答案为：①④⑤．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：方程中的，
所以，
所以方程的解为，．
（2）解：，
，
，即，
或，
，．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是：
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
；
（2），，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
．
19．(1)y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
(2)生物园的面积不能达到55平方米，理由见解析．
【分析】（1）矩形的边的长为x米，则边长为米，根据矩形面积公式“面积长宽”列出函数关系式；
（2）将代入（1）中函数关系式，通过根的判别式判断一元二次方程方程是否有解即可．
本题考查的是函数关系式的求法及一元二次方程求根公式的运用，列出对应的函数关系式，进一步利用函数关系式与一元二次方程的关系解决问题．
【详解】（1）解：矩形的边的长为x米，则边长为米，
根据题意得：，
，
，
∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：不能达到，理由如下：
把代入，
得，
整理得，
，
∴方程无实数根．
∴生物园的面积不能达到55平方米．
20．(1)证明见解析
(2)k的值为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）由题意知，，然后作答即可；
（2）由题意知，，，则，即，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴k的值为．
21．(1)图形见解析
(2)观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，s与t的函数关系式可近似地表示为
(3)推测滑雪者滑行的时间是10秒．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出s与t的二次函数关系式是解题的关键．
（1）先描点，再连线即可得到答案；
（2）根据（1）所求可知s与t的关系可近似看成二次函数，然后设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（3）代入到中，求出t的值即可得到答案．
【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：

（2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s与t的函数关系式为，
将代入，得： ，
解得：，
∴s与t的函数关系式可近似地表示为；
（3）解：把代入得：，
∴，
解得：（舍去），
答：推测滑雪者滑行的时间是10秒．
22．（1）①③；（2）；（3），理由见解析；（4）2029
【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成的形式即可；
（2）通过配方将变形，求出m和n的值，代入求解即可；
（3）通过配方将变形为，对照“完美数”的定义即可求解；
（4）通过配方将变形为，根据求出x的取值范围，根据增减性即可求解
【详解】解：（1），，24和60不能写成的形式，
10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”，
故答案为：①③；
（2），
，，
，
故答案为：；
（3）当时，S是“完美数”，理由如下：
，
当时，，
∵a，b是整数，
∴和也是整数，
∴当时，S是“完美数”；
（4）解：∵，
∴，
∴原式
， ……
又∵，
∴，
∵，
∴当时，原式的值随着x的增大而增大，
∴当时，原式取最小值，最小值为：．
23．(1)每次下降的百分率为
(2)该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元
(3)若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元
【分析】本题考查一元二次方程应用，二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，
（1）由题可得：，解之即可得到答案；
（2）由，即可求解；
（3）由可得，函数是开口向下的，在对称轴处取最大值，即可得到答案．
【详解】（1）解：(1)设每次下降的百分率为，根据题意，得：，
解得：或 (舍去)
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，根据题意，得：，
整理，得，
解得：，，
∵要尽快减少库存，
∴．
答：该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元；
（3）解：设商场每天的盈利为元，由(2)可知：
，
∵，
∴当时，W取最大值，
∴当时， (元)，
答：使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元．
24．(1)①此时旋转角为．②旋转角为．
(2)小组长猜想是正确的，理由见解析
【分析】（1）①先求出，由旋转的性质得，进而可求出旋转角的大小；
②同①的步骤求解即可；
（2）小组长猜想是正确的．过点B作于N，过点E作于M，如图3，根据证明即可解决问题．
【详解】（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时旋转角为．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）小组长猜想是正确的，理由如下：
过点B作于N，过点E作于M，如图3，

∵，
∴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．(1)抛物线的解析式为
(2)存在点Q，理由见解析，点Q的坐标为．
(3)点P的坐标为)或(，)或(，)．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答即可；
（2）如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，再求出点C的坐标，由待定系数法可得的解析式为，最后根据二次函数的性质求得最大时点Q的坐标即可；
（3）如图：过点P作轴交于点F，连接，再求得，，进而得到直线BC的解析式为，设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m， )，则，再结合可得，然后解绝对值求得m的值即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在点Q．理由如下：
如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，
令，则
∴，
∵，
∴运用待定系数法可得直线的解析式为
∵对称轴为，
∴当时，，
∴点Q的坐标为 ． ……
（3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接，
∵，
∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，
设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m， )
∴，
∵，
∴，即,整理得：，
∴，
由得，
∴此时点P的坐标为(，)，
由得 ，，
∴此时点P的坐标为(，)或(，),
综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查的是求二次函数解析式、二次函数的最值、三角形的面积、解一元二次方程等知识点，过硬的运算能力是解题的关键．
滑行时间
0
1
2
3
4
滑行距离
0
14
48