广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试用时：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程： ； ； ； 中，是一元二次方程有（ ）
A．和B．和C．和D．和
3．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
4．若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A．6B．－6C．12D．－12
5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
6．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
8．如图，在中，点，分别在，上，，下列比例式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系用图像来表示是( )
A．B．C．D．
10．某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，中，，，的垂直平分等线交于点，则下列结论中成立的有（ ）
①；②是的平分线；③是等腰三角形；④

A．1个B．2个C．3个D．4个
12．关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根
C．1个实数根D．无实数根
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共24分）
13．反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为 ．
14．方程的根是 ．
15．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
16．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ．
17．如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有 条．
18．反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程
(1)
(2)
20．如图，请画出的一个位似图形，使与以为位似中心，且相似比为．
21．一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池．
(1)水池的容积是多少？
(2)若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式；
(3)若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？
22．如图，在中，，是边上不同于、的一动点，过作，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的面积．
23．如图，一幅长，宽的图案中有一横两竖的彩条，横彩条与竖彩条是宽度比为，若图案中的三条彩条面积是，求横、竖彩条的宽度．
24．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围；
(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
26．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果，分别从，同时出发，秒后停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空： ， ；
(2)当为何值时，的面积为？
(3)是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数．
【详解】、是正比例函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项符合题意；
、是一次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
、是二次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
故选：．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】 中，左边不是整式，不是一元二次方程；
中有两个未知数，不是一元二次方程；
是一元二次方程；
是一元二次方程；
综上和是一元二次方程，
故选：．
3．D
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．A
【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】把代入方程得，，求得，再根据，即可求解．
【详解】解：∵x的一元二次方程的一个根是0，
∴把代入得，，
解得，
∵，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的解及解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，
得：，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，
得：，
．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了成比例线段，将化为代入即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，熟记“平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似”是解题关键．
【详解】解：，
，
，
A、选项不符合题意，故不选A，
B、选项不符合题意，故不选B，
C、选项符合题意，故选C，
D、选项不符合题意，故不选D．
9．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的判断，根据三角形的面积公式即可得到函数关系式，再由实际问题中函数自变量的取值范围即可判断结果．
【详解】由题意得，即，
又∵，，
∴图象在第一象限，
故选：D．
10．C
【分析】全班有x名同学，根据全班共送2450张照片，列出方程即可．
【详解】解：全班有x名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，数形结合是解题关键．
【详解】解：中，，
，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
，
，
，
是的平分线，
，为公共角，
．
综上所述：①②③④均正确．
故选：D．
12．D
【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，可得，再由反比例函数比例系数的几何意义，可得，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴，
∴，
∵A、P关于原点成中心对称，轴，轴，的面积大于12，
∴，
即，
∴．
∴，
∴关于x的方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义， 一元二次方程根的判别式，根据反比例函数比例系数的几何意义得到是解题的关键．
13．
【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把点代入得，，
故此反比例函数的解析式为，
故答案为：．
14．，##，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开方即可．
【详解】解：直接开方，得
，
即，．
故答案为：．，．
15．4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
16．且
【分析】本题主要考查根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∵有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
17．
【分析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.
【详解】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.
【点睛】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.
18．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的的值．
【详解】解：根据题意得，
则，
而，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，进而转化为两个一元一次方程，解方程即可；
（2）方程左边利用十字相乘分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，进而转化为两个一元一次方程，解方程即可；
【详解】（1），
，
或，
解得：，
（2），
，
或，
，
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．见解析．
【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答．
【详解】解：如图：
作法：（1）作射线，，，
（2）在射线，，上分别取点，，，使，，，
（3）连接，，，即为所求．
作法：（1）在射线，，上分别取点，，，使，，，
（2）连接，，，即为所求．
21．(1)升；
(2)与之间的函数关系式为：；
(3)注水的速度应达到升分钟．
【分析】（）根据水池的容积池内原有水的体积注入水的体积，注入水的体积注水速度时间，直接计算；
（）根据题意注满水池的体积注水速度时间可知，可求与之间的关系式；
（）把代入（）中的函数关系式可求；
本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握建立函数关系式，灵活运用函数关系式解决实际问题．
【详解】（1）依题意得：水池的容积（升）；
（2）依题意得，，
∴；
则与之间的函数关系式为：；
（3）由（）得：与之间的函数关系式为，
当代入，
，得，
∴注水的速度应达到升分钟．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟记“两角对应相等，两个三角形相似”是解题关键．
利用两角对应相等，两个三角形相似即可证明．
利用相似三角形对应线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
．
（2），，
，
，，
，
设，，则有，
，，
解得：，．
即，．
，
．
23．竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为．
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，根据三条彩条所占面积是，则空白部分面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．
【详解】解：设竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
答：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用根的判别式，根与系数的关系，平方数的非负性进行判断即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；根据根与方程的关系即可求解．
【详解】（1）解：在关于的方程中，，，，
∴
∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：是等腰三角形，一边长，另外两边分别为，，且、恰好是这个方程的两个根，
①当时，即方程两根相等，
∴，解得，方程可化为：，解得，
∴三边为长分别为，，，
∵，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得，，解得，，
∴原方程可化为：，解得：或，即的一边长为，另一边长为，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法的综合，掌握一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质与方程的根的关系等知识是解题的关键．
25．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图像问题及线段和最值问题．
（1）联立两函数解析式求出交点坐标；
（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；
（3）作A关于x轴对称点即可找出点 P 的位置．
【详解】（1）点在一次函数上，
，
点的坐标为，
点在反比例函数（为常数，且）上，
，
反比例函数表达式为．
联立一次函数表达式与反比例函数表达式，的：
，
解得：，
点B的坐标为．
（2）当时，
一次函数的图像在反比例函数图像上方，
自变量的取值范围为或．
（3）作A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小．
点，A关于y轴对称点，
，
设直线的表达式为，
则有，
解得：，
直线的表达式为，
令中，则，
点P的坐标为．
26．(1)，；
(2)秒或秒；
(3)存在，秒或秒．
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和；
（2）设经过秒钟，使的面积为，由(1)得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解；
（3）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴．
（2）解：设经过秒钟，使的面积为，
∵，，，
∴，
∴，
∴解得：，，
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为．
（3）解：设经过秒钟，使和相似，
∵，
当使时，和相似，
即，
解得：；
当使时，和相似，
即，
解得：．
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似．