北师大版四川省雅安市九年级上册期末数学试卷（含详细解析）

这是一份北师大版四川省雅安市九年级上册期末数学试卷（含详细解析），共25页。

2．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（ ）
A．1B．﹣1C．D．±1
3．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．5D．45
4．（3分）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD
6．（3分）如图所示的几何体从左边看的视图是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（ ）
A．9B．10C．2D．15
8．（3分）当主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若舞台AB的长为（4+8）米，则CD的长为（ ）
A．4米B．（4﹣8）米C．8米D．（2+4）米
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝B．＝C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC
10．（3分）若方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．6B．8C．18D．﹣18
11．（3分）函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上。
13．（3分）如果反比例函数y＝的图象经过点（1，4），那么它一定经过点（﹣1，n），则n＝ ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一根是0，则m＝ ，另一根是 ．
15．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：3，已知△ABC的面积为2，那么△A1B1C1的面积是 ．
16．（3分）若直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0根的存在情况是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）
17．（10分）（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．
18．（7分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年我国某快递公司快递业务收入为400亿元，2020年增长至576亿元．假设该快递公司快递业务收入每年增长率都相同．
（1）求该快递公司2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率；
（2）请预测2021年该快递公司快递业务的收入．
19．（8分）已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别相交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
20．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．
21．（9分）如图，在希望小学长80m，宽60m的长方形足球场上，小亮从A点出发，沿着A→B→C的路线以5m/s的速度跑向C地．当他出发8s后，小冰有东西需要交给他，就从A地出发沿小亮走的路线追赶，当小冰跑到距B地8m的D处时，他在阳光下的影子恰好和E处的小亮的影子在同一条直线DE上．此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．求：
（1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）小冰追赶小亮的速度是多少？
22．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（1，m），B（﹣3，n）两点，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出＞kx+b时自变量x的取值范围；
（3）连接OA，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点E，使得S△OCE＝4S△OCA？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
四.填空(每题4分，共8分)
23．（4分）已知，则的值为 ．
24．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E，F分别是边D，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A'处，此时点B落在点B′处，已知折痕EF＝4．则AE的长等于 ．
五、解答题（12分）
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E，G的速度均为1cm/s，点F的速度为2cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填涂在机读卡上。
1．（3分）要使方程（a﹣2）x2+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a≠3
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的定义，可找出关于a的一元一次不等式，解之即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
∴a≠2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（ ）
A．1B．﹣1C．D．±1
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】D
【分析】首先把﹣1移到等号左边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣1＝0，
x2＝1，
两边直接开平方得：x＝±1，
则x1＝1，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．5D．45
【考点】相似三角形的性质．
【答案】C
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1，
∵△ABC的周长为15，
∴△DEF的周长为5．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．
4．（3分）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】D
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝下的概率．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝下的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝下的概率＝．
故选：D．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P＝．掌握概率公式是解题的关键
5．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD
【考点】矩形的判定．
【答案】D
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
6．（3分）如图所示的几何体从左边看的视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【答案】C
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行判断即可．
【解答】解：从左面看，是一个正方形，且正方形内部的右上角是一个较小的正方形．
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
7．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（ ）
A．9B．10C．2D．15
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得：DF＝15，
∴EF＝15﹣6＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
8．（3分）当主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若舞台AB的长为（4+8）米，则CD的长为（ ）
A．4米B．（4﹣8）米C．8米D．（2+4）米
【考点】黄金分割；二次根式的应用．
【答案】A
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【解答】解：根据黄金分割的意义，
BC＝AD＝AB，
∴CD＝BC+AD﹣AB
＝
＝（）AB
＝（）（4+8）
＝4（米），
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念，熟练运用黄金比进行计算．
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝B．＝C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC
【考点】相似三角形的判定．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，＝，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
10．（3分）若方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．6B．8C．18D．﹣18
【考点】根与系数的关系．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1•x2＝﹣1，所求的代数式＝（x1+x2）2﹣2x1•x2，最后整体代入可得结果．
【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝42﹣2×（﹣1）＝18．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
11．（3分）函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】D
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【答案】C
【分析】先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB＝∠GBE+∠GEB＝30°+90°＝120°，故①正确；
②∵∠DCG＝∠BCG＝30°，DE⊥AB，∴可得DG＝CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG＝CG，故可得出BG+DG＝CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG＝DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD＝AB•DE＝AB•BE＝AB•AB＝AB2，即④正确．
综上可得①②④正确，共3个．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．
二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上。
13．（3分）如果反比例函数y＝的图象经过点（1，4），那么它一定经过点（﹣1，n），则n＝ ﹣4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（﹣1，﹣4）．
【分析】由于反比例函数y＝的图象经过点（1，2），一次即可确定k的值，然后把x＝﹣1代入函数解析式中即可求出所经过的另一个点的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，4），
∴4＝，
∴k＝4，
∴y＝，
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
∴它一定经过点（﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣1，﹣4）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握经过函数的某点一定在函数的图象上特征是解题关键．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一根是0，则m＝ ﹣2 ，另一根是 ﹣ ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝0代入方程得到m2﹣4＝0，m﹣2≠0，求出m，把m的值代入方程求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝0代入方程得：m2﹣4＝0，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
当m＝﹣2时，原方程为：﹣4x2﹣5x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣，方程的另一根为x＝﹣．
故m的值是﹣2，方程的另一根是x＝﹣．
故答案为﹣2，﹣．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m的值是解此题的关键．
15．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：3，已知△ABC的面积为2，那么△A1B1C1的面积是 18 ．
【考点】位似变换．
【答案】18．
【分析】由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：3，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：3，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵位似比是1：3，
∴相似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9，
∵△ABC的面积为2，
∴△A1B1C1的面积是：2×9＝18．
故答案为：18．
【点评】此题考查了位似图形，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解题的关键．
16．（3分）若直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0根的存在情况是 有两个不相等的实数根 ．
【考点】根的判别式；一次函数的性质．
【答案】有两个不相等的实数根．
【分析】由直线y＝x+a不经过第二象限以及一元二次方程的定义知a＜0，继而知Δ＝（﹣3）2﹣4×a×1＝9﹣4a＞0，据此可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，ax2﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a＜0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×a×1＝9﹣4a＞0，
则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）
17．（10分）（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；因式分解﹣分组分解法．
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x1＝4，x2＝6．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣6＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4），
（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝4，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（7分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年我国某快递公司快递业务收入为400亿元，2020年增长至576亿元．假设该快递公司快递业务收入每年增长率都相同．
（1）求该快递公司2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率；
（2）请预测2021年该快递公司快递业务的收入．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）20%；（2）691.2亿元．
【分析】（1）根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可；
（2）根据2021年该快递公司快递业务的收入＝2020年该快递公司快递业务的收入×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：4000（1+x）2＝5760，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为20%；
（2）根据题意，得576×（1+20%）＝691.2（亿元）．
答：2021年该快递公司快递业务的收入为691.2亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别相交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【答案】（1）证明见解答；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，证明见解答．
【分析】（1）由矩形的性质：OA＝OC，AE∥CF，证得AOE≌△COF；
（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠AOE＝∠COF，
在△AOE与△COF中，
∠E＝∠F，
∠AOE＝∠COF，
OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
20．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率＝；
（2）取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率＝．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．掌握概率公式是解题的关键．
21．（9分）如图，在希望小学长80m，宽60m的长方形足球场上，小亮从A点出发，沿着A→B→C的路线以5m/s的速度跑向C地．当他出发8s后，小冰有东西需要交给他，就从A地出发沿小亮走的路线追赶，当小冰跑到距B地8m的D处时，他在阳光下的影子恰好和E处的小亮的影子在同一条直线DE上．此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．求：
（1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）小冰追赶小亮的速度是多少？
【考点】平行投影．
【答案】（1）10米；
（2）m/s．
【分析】（1）利用平行投影的性质，确定AC∥DE，利用三角形相似（△ACB∽△DEB）求解即可；
（2）利用勾股定理求出BE的长，然后求出王刚的时间，减去4得到张华的时间，再根据速度＝路程÷时间列式计算即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知：DE∥AC，
∴△ACB∽△DEB，
∴，
在Rt△ABC中，AB＝80m，BC＝60m，BD＝8m，
∵在一个长80m、宽60m的长方形足球场上，
∴AC＝＝100m，
∴＝，
解得：DE＝10米；
答：两人相距10米；
（2）根据题意得：
∴DE2＝BD2+BE2，
∴BE＝＝＝6（m），
∴s小亮＝AB+BE＝86m，
∴t小亮＝s；
∴t小冰＝t小亮﹣8＝s，
∴s小冰＝AD＝AB﹣BD＝80﹣8＝72（m），
v小冰＝＝（m/s），
答：小冰追赶小亮的速度是m/s．
【点评】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理在实际生活中的运用，解答此类问题的关键是根据题意列出方程求解．
22．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（1，m），B（﹣3，n）两点，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出＞kx+b时自变量x的取值范围；
（3）连接OA，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点E，使得S△OCE＝4S△OCA？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）y＝x+2；（2）x＜﹣3或0＜x＜1；（3）存在；E（﹣4，﹣）．
【分析】（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（﹣3，n）两点，
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由图象得知：＞kx+b时，自变量x的取值范围是：x＜﹣3或0＜x＜1；
（3）存在．理由如下：
设E（m，），由题意得，C（0，2），
∴•（﹣m）×2＝×1×2×4，
解得m＝﹣4，
∴E（﹣4，﹣）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，学会构建方程解决问题是解题关键．
四.填空(每题4分，共8分)
23．（4分）已知，则的值为 ．
【考点】比例的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后将其代入，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设a＝2k，b＝3k，c＝4k的解题方法．
24．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E，F分别是边D，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A'处，此时点B落在点B′处，已知折痕EF＝4．则AE的长等于 5 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【答案】5．
【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH＝∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE＝DA′，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，
在Rt△EFG中，
EG＝＝＝4，
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG＝90°，
∴∠DAA′＝∠GFE，
在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A（ASA），
∴DA′＝EG＝4．
设AE＝x，由翻折的性质可知EA′＝x，
则DE＝8﹣x，
在Rt△EDA′中，
由勾股定理得：EA′2＝DE2+A′D2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
五、解答题（12分）
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E，G的速度均为1cm/s，点F的速度为2cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【考点】相似三角形的判定；三角形的面积．
【答案】（1）当t＝1秒时，S的值是6cm2．
（2）当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
【分析】（1）当t＝1时，根据点E、G的速度均为1cm/s，点F的速度为2cm/s，可求出S和t的关系．
（2）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【解答】解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝1，EB＝5，BF＝2，FC＝2，CG＝1，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（5+1）×4﹣×5×2﹣×2×1
＝6（cm2）；
（2）当点F在矩形的边BC上的边移动时（0≤t≤2），在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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