2020年湖北省鄂州市中考数学真题及答案

这是一份2020年湖北省鄂州市中考数学真题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．﹣2020的相反数是（ ）
A．2020B．﹣C．D．﹣2020
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．2x3•3x2＝6x5 D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣4
3．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
4．面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010
5．如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．55° D．65°
6．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
8．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，
③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．因式分解：2m2﹣12m+18＝ ．
12．关于x的不等式组的解集是 ．
13．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
14．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为 ．
15．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
16．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 ．
三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）
17．先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
19．某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
（1）频数分布表中m＝ ，n＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
20．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
21．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
23．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．﹣2020的相反数是（ ）
A．2020B．﹣C．D．﹣2020
【知识考点】相反数．
【思路分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答过程】解：﹣2020的相反数是2020，
故选：A．
【总结归纳】本题主要考查了相反数的定义，解答此题的关键是：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．2x3•3x2＝6x5 D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣4
【知识考点】整式的混合运算．
【思路分析】利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．
【解答过程】解：A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；
B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故原题计算错误；
C、2x3•3x2＝6x5，故原题计算正确；
D、（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故原题计算错误；
故选：C．
【总结归纳】此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．
3．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答过程】解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
4．面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010
【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答过程】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．
故选：C．
【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．55° D．65°
【知识考点】平行线的性质；等腰直角三角形．
【思路分析】先根据三角形内角和定理求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2+∠4＝∠3，最后根据∠2＝∠3﹣∠4计算即可得到答案．
【解答过程】解：如图：
∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵a∥b，
∴∠4+∠2＝∠3＝70°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟记性质和定理是解题的关键．
6．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【知识考点】算术平均数；众数．
【思路分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．
【解答过程】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，
∴x＝6×5﹣4﹣5﹣7﹣9＝5，
∴这组数据的众数为5；
故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了确定一组数据的众数的能力，解题的关键是能够利用平均数的定义求得x的值，比较简单．
7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【知识考点】一元二次方程的应用．
【思路分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，
整理，得：x2+3x-1.36=0，
解得：x1=0.4=40%，x2=-3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，
③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【知识考点】全等三角形的判定与性质．
【思路分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
【解答过程】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【思路分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．
【解答过程】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；
②对称轴为x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
【总结归纳】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
10．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答过程】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+n），则有n＝a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2）．
故选：D．
【总结归纳】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．因式分解：2m2﹣12m+18＝ ．
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答过程】解：原式＝2（m2﹣6m+9）
＝2（m﹣3）2．
故答案为：2（m﹣3）2．
【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
12．关于x的不等式组的解集是 ．
【知识考点】解一元一次不等式组．
【思路分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
【解答过程】解：
由①得：x＞2，
由②得：x≤5，
所以不等式组的解集为：2＜x≤5，
故答案为2＜x≤5．
【总结归纳】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
【知识考点】圆锥的计算．
【思路分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．
【解答过程】解：设圆锥底面的半径为r，
扇形的弧长为：＝π，
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据题意得2πr＝π，
解得：r＝．
故答案为：．
【总结归纳】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关键．
14．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为 ．
【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【思路分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答过程】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，
∴可设A（x，），
∴OC＝x，AC＝，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝3OA，
∴＝＝＝，
∴OD＝3AC＝，BD＝3OC＝3x，
∴B（，﹣3x），
∵点B反比例函数y＝图象上，
∴k＝×（﹣3x）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【总结归纳】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
15．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
【知识考点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算．
【思路分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．
【解答过程】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）
如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），
综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．
故答案为1或（11+6）．
【总结归纳】本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 ．
【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．
【思路分析】在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，可得OB＝4，OA＝，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．
【解答过程】解：如图，
在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝4，OA＝，
∴tan∠OBA＝＝，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ＝，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP＝OB＝2，
此时PQ＝＝，
BP＝＝2，
∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EP＝BP＝，
∴BE＝＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OE＝OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2．
故答案为：2．
【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）
17．先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【知识考点】分式的化简求值．
【思路分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答过程】解：÷+
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x＝0，1，﹣1时，原分式无意义，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【总结归纳】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【思路分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
【解答过程】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
【总结归纳】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
（1）频数分布表中m＝ ，n＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
【解答过程】解：（1）根据频数分布表可知：
m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，
∵18÷0.3＝60，
∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12，
补充完整的频数分布直方图如下：
故答案为：0.15，12；
（2）根据题意可知：
1000×（0.15+0.3）＝450（名），
答：估计全校需要提醒的学生有450名；
（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，
根据题意，画出树状图如下：
根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，
所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布表、频数分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．
20．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【知识考点】根的判别式；根与系数的关系．
【思路分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答过程】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
【总结归纳】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
21．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50，可求出AM即可；
（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100，可求出DN，进而求出DM和CD即可．
【解答过程】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50，
∴AM＝2MC＝100＝BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，
即：tan30°＝，
∴DN＝300，
∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，
∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264，
答：河流的宽度CD约为264米．
【总结归纳】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
22．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
【知识考点】圆的综合题．
【思路分析】（1）证明△BOE≌△BOC（SSS）可得结论．
（2）连接EG．证明△AEC∽△EFG可得结论．
（3）过点O作OH⊥AN于H．解直角三角形求出DE＝EC，CD，利用相似三角形的性质求出E，AC，AO，求出AH，HN即可解决问题．
【解答过程】（1）证明：∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥EC，
∵DE∥OB，
∴OB⊥EC，
∴OB垂直平分线段EC，
∴BE＝EC，OE＝OC，
∵OB＝OB，
∴△OBE≌△OBC（SSS），
∴∠OEB＝∠OCB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：连接EG．
∵CD是直径，
∴∠DGC＝90°，
∴CG⊥DG，
∵CG∥OE，
∴OE⊥DG，
∴＝，
∴DE＝EG，
∵AE⊥OE，DG⊥OE，
∴AE∥DG，
∴∠EAC＝∠GDC，
∵∠GDC＝∠GEF，
∴∠GEF＝∠EAC，
∵∠EGF＝∠ECA，
∴△AEC∽△EFG，
∴＝，
∵EG＝DE，
∴AE•DE＝AC•EF．
（3）解：过点O作OH⊥AN于H．
∵＝，
∴∠EDG＝∠ACE，
∴tan∠EDF＝tan∠ACE＝＝＝，
∵EF＝3，
∴DE＝6，EC＝12，CD＝＝6，
∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，
∴∠AED＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠AED＝∠ACE，
∵∠EAD＝∠EAC，
∴△EAD∽△CAE，
∴＝═＝，
∴可以假设AE＝x，AC＝2x，
∵AE2＝AD•AC，
∴x2＝（2x﹣6）•2x，
解得x＝4（x＝0舍去），
∴AE＝4，AC＝8，AD＝2，OA＝5，
∵EC∥AN，
∴∠OAH＝∠ACE，
∴tan∠OAH＝tan∠ACE＝＝，
∴OH＝5，AH＝10，
∵OH⊥MN，
∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN＝＝＝2，
∴AN＝AH+HN＝10+2．
【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【知识考点】二次函数的应用．
【思路分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答过程】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15≤13.5+0.5m，
解得，m≥3，
∵1≤m≤6，
∴3≤m≤6．
【总结归纳】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；
②先判断出△AOC∽△COB，得出∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
Ⅰ、当△PNC∽△AOC，得出∠PCN＝∠ACO，进而得出CP∥OB，即可得出结论；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，得出∠PCN＝∠CAO，进而得出PC＝PD，即可得出结论．
【解答过程】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝，
∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，
∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，
∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
即满足条件的m的值为﹣或1或2；
②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
∵△PNC与△AOC相似，
∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，
∴∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC，
∴CP∥OB，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴m2﹣m﹣2＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝3，
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD，
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，
∴2m2﹣m＝，
∴m＝，
∴P（，﹣），
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
【总结归纳】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000